В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AB внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 124°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла A тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Куб опи­сан около сферы ра­ди­у­сом 7,5. Най­ди­те объём куба.

В клас­се 16 обу­ча­ю­щих­ся, среди них два друга  — Ми­ха­ил и Вадим. Уча­щих­ся слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 4 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Ми­ха­ил и Вадим ока­жут­ся в одной груп­пе.

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,1. Лампы пе­ре­го­ра­ют не­за­ви­си­мо друг от друга. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью  м/с под ост­рым углом к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью  (м/с), где  кг  — масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а  кг  — масса плат­фор­мы. Под каким наи­боль­шим ост­рым углом а (в гра­ду­сах) скейт­бор­ди­сту нужно прыг­нуть, чтобы разо­гнать плат­фор­му до ско­ро­сти не мень­ше 0,3 м⁠/⁠с?

Заказ на из­го­тов­ле­ние 140 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 4 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час из­го­тав­ли­ва­ет на 4 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вые рёбра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­да SABC пра­виль­ная.

б)  На рёбрах SA и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти BKM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

По биз­нес-плану для ре­а­ли­за­ции но­во­го про­ек­та в июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 1470 тыс. руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027 и 2028 годов долг остаётся рав­ным 1470 тыс. руб.;

  —  пла­те­жи в 2029 и 2030 годах равны;

  —  к июлю 2030 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму пла­те­жей за пять лет.

Точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. На луче АО за точ­кой О вы­бра­на точка Р так, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ОРС, если BC  =  24,

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет три раз­лич­ных корня.

Юра и По­ли­на иг­ра­ют в игру с чис­ла­ми. Юра при­ду­мы­ва­ет трёхзнач­ное число и на­хо­дит сумму его цифр. По­ли­на вы­чи­та­ет из при­ду­ман­но­го Юрой числа най­ден­ную сумму цифр и делит по­лу­чен­ную раз­ность на 3.

а)  Могло ли у По­ли­ны по­лу­чить­ся число 222?

6)  Могло ли у По­ли­ны по­лу­чить­ся число 212?

в)  Сколь­ко всего раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся у По­ли­ны, если Юра будет при­ду­мы­вать числа от 100 до 800 вклю­чи­тель­но?