Слу­чай а). Пусть числа где по усло­вию b  — на­ту­раль­ное число,   — ис­ко­мые члены про­грес­сии. Их про­из­ве­де­ние равно но урав­не­ние не имеет на­ту­раль­ных ре­ше­ний. Итак, не­об­хо­ди­мой про­грес­сии из 5 чисел не су­ще­ству­ет.

Слу­чай б). Пусть про­грес­сия со­сто­ит из че­ты­рех чле­нов а пятое на­ту­раль­ное число равно По­сколь­ку имеем: что не­воз­мож­но для на­ту­раль­ных и k по­сколь­ку раз­ло­же­ние числа 1512 не со­дер­жит чет­вер­тых сте­пе­ней про­стых со­мно­жи­те­лей от­лич­ных от 1. За­ме­тим, од­на­ко, что зна­ме­на­тель про­грес­сии q может не быть на­ту­раль­ным чис­лом и ис­сле­ду­ем этот слу­чай. Пусть   — не­со­кра­ти­мая дробь, Тогда что не­воз­мож­но, по­сколь­ку раз­ло­же­ние числа 1512 не со­дер­жит ше­стых сте­пе­ней про­стых со­мно­жи­те­лей от­лич­ных от 1.

Слу­чай в). Пусть про­грес­сия со­сто­ит из трех чле­нов а чет­вер­тое и пятое на­ту­раль­ные числа равны k и Тогда По­ло­жим в этом ра­вен­стве Далее, по­ла­гая по­лу­чим один из тре­бу­е­мых на­бо­ров чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да.

За­ме­тим, что

а)  Пусть это Тогда их про­из­ве­де­ние равно и

б)  Пусть это q не обя­за­но быть целым, но долж­но быть ра­ци­о­наль­ным. Пусть   — не­со­кра­ти­мая дробь, тогда имеем Зна­чит, 792 крат­но (оно не может со­кра­щать­ся со зна­ме­на­те­лем), от­ку­да Зна­чит, a крат­но (иначе   — не­це­лое), крат­но 792 крат­но (оно не со­кра­ти­лось), от­ку­да и про­грес­сия по­сто­ян­на.

в)  Да, на­при­мер 1, 2, 4, 9, 11.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да.