а)  Пусть α  — се­ку­щая плос­кость и О  — центр шара. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара на плос­кость α и обо­зна­чим через F ос­но­ва­ние этого пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Пусть X  — про­из­воль­ная точка шара, при­над­ле­жа­щая плос­ко­сти α. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ОХ не боль­ше ра­ди­у­са R шара, по­это­му то есть любая точка се­че­ния шара плос­ко­стью α на­хо­дит­ся от точки F на рас­сто­я­нии, не боль­шем сле­до­ва­тель­но, она при­над­ле­жит шару. Это зна­чит, что любая точка се­че­ния шара плос­ко­стью α лежит в круге с цен­тром в точке F.

Об­рат­но: любая точка X этого круга при­над­ле­жит шару и лежит в плос­ко­сти α, а это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью α есть круг с цен­тром в точке F.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры се­че­ний  — кру­гов. Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми α и β дано на ри­сун­ке.

FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью α, тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью α.

AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью β, тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью β.

CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AF. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α:

Ответ: б) 13.

а)  Пусть   — се­ку­щая плос­кость и О  — центр шара. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара на плос­кость и обо­зна­чим через F ос­но­ва­ние этого пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Пусть X  — про­из­воль­ная точка шара, при­над­ле­жа­щая плос­ко­сти По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Так как ОХ не боль­ше ра­ди­у­са R шара, то т. е. любая точка се­че­ния шара плос­ко­стью на­хо­дит­ся от точки F на рас­сто­я­нии, не боль­шем сле­до­ва­тель­но, она при­над­ле­жит шару. Это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг с цен­тром в точке F.

Об­рат­но: любая точка X этого круга при­над­ле­жит шару. А это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг с цен­тром в точке F. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов. Введём обо­зна­че­ния цен­тра шаров, точек ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми и как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

От­ре­зок FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью От­ре­зок AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью От­ре­зок CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью

Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой Тогда из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем:

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

Ис­сле­ду­ем слу­чай, когда плос­ко­сти рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от цен­тра шара.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем:

Ответ:12.

а)  Пусть   — се­ку­щая плос­кость и О  — центр шара. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара на плос­кость и обо­зна­чим через F ос­но­ва­ние этого пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Пусть X  — про­из­воль­ная точка шара, при­над­ле­жа­щая плос­ко­сти По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Так как ОХ не боль­ше ра­ди­у­са R шара, то т. е. любая точка се­че­ния шара плос­ко­стью на­хо­дит­ся от точки F на рас­сто­я­нии, не боль­шем сле­до­ва­тель­но, она при­над­ле­жит шару. Это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг с цен­тром в точке F.

Об­рат­но: любая точка X этого круга при­над­ле­жит шару. А это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг с цен­тром в точке F. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

б)  Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов.

Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми и дано на ри­сун­ке. FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью

AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем: от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

Ответ: 10.