По­ло­жим тогда един­ствен­ное ре­ше­ние долж­но иметь урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние не из­ме­ня­ет­ся при за­ме­не t на −t, по­это­му если число t  — ре­ше­ние этого урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра a, то и число −t яв­ля­ет­ся его ре­ше­ни­ем при том же зна­че­нии a. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда число 0 яв­ля­ет­ся его ре­ше­ни­ем, и дру­гих ре­ше­ний нет.

Под­став­ляя по­лу­ча­ем:

Оста­лось про­ве­рить, что при най­ден­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра урав­не­ние не имеет дру­гих кор­ней. Под­став­ляя имеем:

От­сю­да сле­ду­ет, что а тогда и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Оно, дей­стви­тель­но, имеет един­ствен­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию

Ре­ше­нию со­от­вет­ству­ет Сле­до­ва­тель­но, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют

Ответ: при урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

При­ме­ча­ние.

Можно было сразу от­ме­тить, что на­ря­ду с ре­ше­ни­ем х урав­не­ние имеет ре­ше­ние По­сколь­ку ре­ше­ния долж­ны сов­па­дать, на­хо­дим:

Сде­ла­ем за­ме­ну тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

За­ме­тим, что если не­ко­то­рое число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­но­го урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра a, то и также будет яв­лять­ся его ре­ше­ни­ем при том же зна­че­нии Это озна­ча­ет, что урав­не­ние может иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, толь­ко в том слу­чае, если

Под­ста­вив это ре­ше­ние в урав­не­ние, по­лу­чим:

от­ку­да

Пусть Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

От­сю­да сле­ду­ет, что сле­до­ва­тель­но,

Ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и оно имеет един­ствен­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию Сле­до­ва­тель­но, удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: при един­ствен­ное ре­ше­ние

Пусть число x  — ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра Тогда число есть его ре­ше­ние при том же зна­че­нии Если ре­ше­ние един­ствен­но, то ре­ше­ния и x сов­па­да­ют, то есть

Под­ста­вив это ре­ше­ние в ис­ход­ное урав­не­ние, по­лу­чим:

от­ку­да

Пусть Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

От­сю­да сле­ду­ет, что сле­до­ва­тель­но,

Ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и оно имеет един­ствен­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию Сле­до­ва­тель­но, удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: при един­ствен­ное ре­ше­ние