Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
Если вершина 
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые и совпадают или прямые 
и совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина 
совпадает с точкой то уравнение имеет одно решение.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.
Первый случай. При 
или 
или уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно, система условий имеет вид:
В случае, когда второе уравнение верно, система условий имеет вид:
Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
Данное уравнение не имеет решений.
То есть исходное уравнение не имеет решений при a равном 
Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:
Прямые 
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
I случай: 
и 
Получаем
II случай: и 
Тогда
III случай: 
и Совокупность принимает вид
IV случай: и Получаем
Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены оранжевым).
Значит, при 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу. | 3 |
С помощью верного рассуждения получены искомые значения  возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной  | 2 |
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функций  и  . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
(1)
(2)
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и Запишем уравнение в виде 
Левая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, с вершиной в точке Это уравнение может иметь одно, либо бесконечное множество решений. Уравнение будет иметь одно решение, если одновременно прямая лежит выше прямой 
и прямая лежит ниже прямой 
либо, если одновременно прямая лежит ниже прямой и прямая лежит выше прямой 
Получаем совокупность двух систем уравнений:
(3)
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если оба уравнения совокупности (2) имеют по одному решению.
Для первого уравнения имеем
Для второго уравнения:
Если уравнения совокупности совпадают, то тогда, даже если каждое из них имеет по одному решению, то эти решения совпадут и исходное уравнение будет иметь не два, а одно решение. Исключим данный случай, найдём при каких значениях параметра a уравнения совпадают:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при значениях параметра 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены искомые значения возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной | 2 |
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функций  и  . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть тогда уравнение запишется в виде 
Решения этого уравнения имеют вид 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений
или
Исследуем, сколько решений имеет уравнение в зависимости от a и b. Рассмотрим функцию
При 
графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых 
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
бесконечно много решений при 
и не имеет решений при 
В случае 
уравнение 
имеет два решения при 
одно решение при 
и не имеет решений при 
Уравнения
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид
и не имеют решений.
При других значениях a исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений
и
не имеет решений, а другое имеет два решения. Эти условия равносильны неравенству
При 
неравенство принимает вид 
и выполняется при любом 
При 
неравенство принимает вид 
откуда с учётом условия получаем 
и 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при 
и 
Ответ: 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек a = 0,5 и/или a = 1 | 3 |
| В решении верно найдены граничные точки множества значений a (a = 0,5, a = 1), но неверно определены промежутки значений a, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: a = 0,5 или a = 1, ИЛИ получено хотя бы одно из уравнений или | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть 
тогда уравнение запишется в виде 
Решения этого уравнения имеют вид 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений
или 
Исследуем, сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и b. Рассмотрим функцию 
При 
графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых равны −2, 0 и 2. Минимальное значение достигается на отрезке с концами −5 и a и равно 
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
бесконечно много решений при 
и не имеет решений при 
В случае 
уравнение 
имеет два решения при одно решение при и не имеет решений при
Уравнения и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид
и не имеют решений.
При других значениях a исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений
и
не имеет решений, а другое имеет два решения. Эти условия равносильны неравенству
При 
неравенство принимает вид 
и выполняется при любом 
При 
неравенство принимает вид 
откуда с учётом условия получаем 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при 
и 
Ответ: 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек | 3 |
| В решении верно найдены граничные точки множества значений a ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: ИЛИ получено хотя бы одно из уравнений или | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и/или 
но неверно определены промежутки значений a,
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть 
тогда 
Раскроем модули:
Построим график функции 
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение 
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее чем 2. Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Функция 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
Случай 2. Уравнение имеет единственное решение, большее чем 2, если и только если выполнена система условий 
и 
Имеем:
Объединяя полученные в двух случаях значения, получаем ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки  ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию расположения корней квадратного уравнения  где  | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений или Исследуем сколько решений имеет уравнение в зависимости от a и Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при решений нет. Запишем уравнение в виде График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке график правой части — график модуля, отражённый относительно Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая лежит правее (выше) прямой и прямая лежит левее (выше) прямой Это достигается условиями и Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
Если вершина находится внутри части плоскости отсекаемой графиком то уравнение имеет два решения, если прямые и совпадают или прямые и совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина совпадает с точкой то уравнение имеет одно решение.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.
Первый случай. При или или уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно, система условий имеет вид:
В случае, когда второе уравнение верно, система условий имеет вид:
Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если откуда При данном значении a оба уравнения принимают вид:
Данное уравнение не имеет решений.
То есть исходное уравнение не имеет решений при a равном
Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при
Ответ:
Приведём другое решение.
Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:
Прямые и (изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
I случай: и Получаем
II случай: и Тогда
III случай: и Совокупность принимает вид
IV случай: и Получаем
Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены оранжевым).
Значит, при или исходное уравнение имеет два решения, при или исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при исходное уравнение не имеет решений.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх