Пусть ско­рость Агаты на об­рат­ном пути со­ста­ви­ла x км/ч, а путь от дома до ин­сти­ту­та со­став­ля­ет S км. Тогда сред­няя ско­рость Агаты будет равна км/ч.

а)  Нет, не могла. Пусть сред­няя ско­рость со­ста­ви­ла 90 км/⁠ч. Тогда

что про­ти­во­ре­чит це­ло­чис­лен­но­сти x.

б)  Да, могла. Если км/ч, то км/ч.

в)  Чем мень­ше x, тем мень­ше сред­няя ско­рость.

  — целое, по­это­му крат­но Но крат­но зна­чит, 20000 крат­но По­сколь­ку то где При этом по­сколь­ку то (*)

1.   Тогда что про­ти­во­ре­чит (*).

2.   Тогда Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле толь­ко при то есть

3.   Тогда Дан­ное вы­ра­же­ние не на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле ни при каких k.

4.   Тогда Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле толь­ко при то есть

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние сред­ней ско­ро­сти до­сти­га­ет­ся при км/ч, и тогда сред­няя ско­рость равна: км/ч.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  40 км/⁠ч.

Пусть ско­рость Насти на об­рат­ном пути со­ста­ви­ла x км/ч, а путь от дома до ин­сти­ту­та со­став­ля­ет S км. Тогда сред­няя ско­рость Насти будет равна км/ч.

а)  Нет, не могла. Пусть сред­няя ско­рость со­ста­ви­ла 70 км/ч. Тогда

что про­ти­во­ре­чит це­ло­чис­лен­но­сти x.

б)  Да, могла. Если км/ч, то км/ч.

в)  Чем боль­ше x, тем боль­ше сред­няя ско­рость. Так как   — целое, то крат­но Но крат­но зна­чит, 12800 крат­но Так как то где При этом, так как то (*)

1)   Тогда Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле толь­ко при то есть

2)   Тогда Дан­ное вы­ра­же­ние не на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле ни при каких k.

3)   Тогда Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле толь­ко при то есть

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние сред­ней ско­ро­сти до­сти­га­ет­ся при км/ч, а тогда сред­няя ско­рость равна: км/ч.

Ответ: а) нет, б) да, в) 60 км/ч.