ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Каталог заданий

Назад в каталог
Вернуться к списку прототипов этой категории
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 505496 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014.

Классификатор алгебры: Кусочное построение графика функции, Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев, Введение замены

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть $t=|x плюс 7| минус |x минус a|,$ тогда исходное уравнение принимает вид:

$t в квадрате минус 13at плюс 30a в квадрате плюс 21a минус 9=0 равносильно совокупность выражений t=3a плюс 3,t=10a минус 3. конец совокупности$    (1)

откуда

Значит, решение исходного уравнения  — это решение уравнений $|x плюс 7| минус |x минус a|=3a плюс 3$ или $|x плюс 7| минус |x минус a|=10a минус 3.$ Исследуем сколько решений имеет уравнение $|x плюс 7| минус |x минус a|=b$ в зависимости от a и $b.$ Запишем уравнение в виде $|x плюс 7|=|x минус a| плюс b.$ Левая часть этого уравнения  — график модуля с вершиной в точке $левая круглая скобка минус 7,0 правая круглая скобка ,$ график правой части  — график модуля, с вершиной в точке $левая круглая скобка a, b правая круглая скобка .$ Это уравнение может иметь одно, либо бесконечное множество решений. Уравнение будет иметь одно решение, если одновременно прямая $y= минус x плюс a плюс b$ лежит выше прямой $y= минус x минус 7$ и прямая $y=x минус a плюс b$ лежит ниже прямой $y=x плюс 7,$ либо, если одновременно прямая $y= минус x плюс a плюс b$ лежит ниже прямой $y= минус x минус 7$ и прямая $y=x минус a плюс b$ лежит выше прямой $y=x плюс 7.$ Получаем совокупность двух систем уравнений:

$совокупность выражений новая строка система выражений новая строка a плюс b больше минус 7, новая строка a минус b больше минус 7, конец системы новая строка система выражений новая строка a плюс b меньше минус 7, новая строка a минус b меньше минус 7. конец системы . конец совокупности .$    (3)

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если оба уравнения совокупности (2) имеют по одному решению.

Для первого уравнения имеем

$совокупность выражений новая строка система выражений новая строка a плюс 3a плюс 3 больше минус 7, новая строка a минус 3a минус 3 больше минус 7, конец системы новая строка система выражений новая строка a плюс 3a плюс 3 меньше минус 7, новая строка a минус 3a минус 3 меньше минус 7. конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка 4a больше минус 10, новая строка минус 2a больше минус 4, конец системы новая строка система выражений новая строка 4a меньше минус 10, новая строка минус 2a меньше минус 4. конец системы . конец совокупности . равносильно минус 2,5 меньше a меньше 2.$

Для второго уравнения:

$совокупность выражений новая строка система выражений новая строка a плюс 10a минус 3 больше минус 7, новая строка a минус 10a плюс 3 больше минус 7, конец системы новая строка система выражений новая строка a плюс 10a минус 3 меньше минус 7, новая строка a минус 10a плюс 3 меньше минус 7 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка 11a больше минус 4, новая строка минус 9a больше минус 10, конец системы новая строка система выражений новая строка 11a меньше минус 4, новая строка минус 9a меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 11 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби .$

Если уравнения совокупности совпадают, то тогда, даже если каждое из них имеет по одному решению, то эти решения совпадут и исходное уравнение будет иметь не два, а одно решение. Исключим данный случай, найдём при каких значениях параметра a уравнения совпадают:

$3a плюс 3=10a минус 3 равносильно a= дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при значениях параметра $a:$

$система выражений минус 2,5 меньше a меньше 2, минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 11 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби ,a не равно дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби . конец системы равносильно совокупность выражений новая строка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 11 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 11 конец дроби , дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби , дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу.	3
С помощью верного рассуждения получены искомые значения $a,$ возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной $t.$	2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функций $\|x плюс 7\|$ и $\|x плюс a\| плюс b$ .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 505474: 505496 635867 635969 ...505496 635867 635969 681276 681317 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014.

РешениеСпрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе