а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв и получим

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.

Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть где и — взаимно простые натуральные числа. Тогда прогрессия имеет вид:

Так как и взаимно просты, делится на а значит, откуда Так как Но — целое, поэтому Отсюда

Поэтому

что противоречит требованию задачи.

Ответ: а) да. б) нет.

Пусть Тогда Тогда

Положим Значит, числа — одной чётности, а так как получаем:

Значит,

При этих условиях необходимо найти наименьшее значение Так как находим, что откуда

Далее перебираем случаи:

1)

2)

3)

4)

5)

Значит, наименьшее значение равно при этом

Ответ: 1369.

Ясно, что

Общие члены прогрессий удовлетворяют уравнению:

Левая часть последнего уравнения делится на 3, поэтому то есть или где Найдём Общие члены двух прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 14, а последним — равным Значит, откуда Поэтому

Ответ: 49 и 29.

а) Последовательность не может состоять из двух членов, так как уравнения x + (x + 12) = 437, x +8x = 437 неразрешимы в целых числах.

Последовательность может состоять из трёх членов, например, так: 25 + 200 + 212 = 437.

б) Сумма двух соседних чисел равна как минимум 9; поскольку 437 = 48 · 9 + 5, будет самое большее 48 пар и ещё одно число. Но сумма может быть равна 9 только для пары 1 + 8, а если все пары такие, то добавить к ним число 5 нельзя. А для остальных пар сумма равна как минимум 14. Поэтому на самом деле 97 чисел обеспечить нельзя, а 96 чисел можно в ситуации 1, 8, 1, 8, 1, 8, ..., 1, 8, 1, 13 (пара 1, 8 повторяется 47 раз).

Ответ: а) 3; б) 96.

1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго — с минусами, то сумма максимальна и равна

2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из полученных сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.

3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:

Ответ: 1 и 805.

1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма наибольшая и она равна

2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.

3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведения, которая получится при раскрытии следующих скобок

Ответ: 1 и 3045.

а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6.

б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4.

Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа также образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Заметим, что числа не могут все быть четными или все делиться на 3.

Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует.

Пусть теперь разность прогрессии не делится на 3. Тогда если делится на 3, то члены , и не делятся на 3, а делится на 3. Аналогично, если делится на 3, то из чисел , , , на 3 будет делиться только Наконец, если делится на 3, то ни одно из чисел , , не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки.

Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только , поскольку единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся степенями двойки. Тогда , , являются степенями двойки. Разность прогрессии значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть.

Ответ: а) да; б) 4.

а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:

б) Среди выписанных чисел чётных и нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться

в) Заметим, что Значит, между квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться

При можно разбить все данные числа на группы по чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна а значит, и сумма всех чисел равна

г) Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между числами таким образом, чтобы их сумма равнялась Перед поставим знак «». При такой расстановке знаков сумма равна

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Заметим, что из условия следует, что Далее имеем:

1. Если то каждое из слагаемых равно и при равенство будет верно.

2. Если левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем:

Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет.

3. Если то исходное уравнение равносильно уравнению:

Числа и на три нацело не делятся, следовательно, откуда и Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ:

а) Последовательность не может состоять из двух членов, так как уравнения x+(x+10)=257, x+6x=257 неразрешимы в целых числах. Последовательность может состоять из трёх членов, например, так: 19+114+124=257.

б) Сумма двух соседних чисел равна минимум 7; поскольку 257=36·7+5, будет самое большее 36 пар и еще одно число. Но сумма может быть равна 7 только для пары 1+6, а если все пары такие, то добавить к ним число 5 нельзя. А для остальных пар сумма равна минимум 12. Поэтому на самом деле 73 числа обеспечить нельзя, а 72 числа можно в ситуации 1,6,1,6,1,6,...,1,6,1,11 ( пара 1,6 повторяется 35 раз).

Ответ: а)3; б) 72.

а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

б) Можно считать, что разность прогрессии положительна. Пусть разность имеет цифр. Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующему -й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1. Так как цифра 9 запрещена, возможно не больше 8 переходов со сменой этого разряда. Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в -м разряде. Назовём такие члены группой. Всего таких групп не более 9. Обозначим длину группы

Найти наибольшую возможную длину группы. Так как -- -значное число, каждый переход, не меняющий -й разряд, увеличивает -й разряд. И так ка цифра 9 запрещена в то числе в -м разряде, то таких переходов подряд может быть не более 8. Следовательно, , а в прогрессии не более членов.

в) Если в прогрессии нет переходов со сменой -го разряда, то членов прогрессии не больше 9. Пусть такие переходы есть. Рассмотрим член прогрессии, стоящий перед таким переходом. Так как он не содержит 9, то его -значный "хвост" ( имеет остаток от деления на ) не больше Но при прибавлении d должен произойти переход через десяток в -м разряде. Следовательно,

Рассмотрим такую группу членов прогрессии что -й разряд не меняется. Тогда -значные хвосты сами образуют арифметическую прогрессию с той же разностью: Но следовательно

г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125:

Ответ:а) да; г) например, 1, 126, ... 8876.

а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв и получим

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.

Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть где и — взаимно простые натуральные числа. Тогда:

Так как и взаимно просты, делится на а значит, откуда Так как Но — целое, поэтому Отсюда

Поэтому

что противоречит требованию задачи.

Ответ: а) да. б) нет.

1. Так как то и

2. Пусть тогда откуда и

3. Пусть тогда откуда и

4. Далее конечным перебором значений находим все решения:

n	k		m
3	3		4
3	2		нет решений
3	1		нет решений
2	3		нет решений
2	2		нет решений
2	1		3
1	3		нет решений
1	2		3
1	1		нет решений

Ответ:

Числа вида будем называть запрещёнными. Вот начало последовательности запрещённых чисел: 1, 3, 6, 10, 15, ...

Пусть a и d — первый член и разность арифметической прогрессии. Так как число 1 запрещённое, то a > 1. Так как члены прогрессии — различные натуральные числа, то d > 0.

Если d = 1, то прогрессия будет содержать запрещённое число — например, 10. Если d = 2, то прогрессия также будет содержать запрещённое число — например, 10 для чётного a и 15

для нечётного a. Стало быть,

Сумма S первых 10 членов прогрессии равна:

С учётом полученных неравенств имеем оценку:

Нижнее значение 155 нашей оценки реализуется для прогрессии с a = 2 и d = 3 (то есть для прогрессии 2, 5, 8, ...). Остаётся показать, что эта прогрессия не содержит запрещённых чисел.

Под номером k в данной прогрессии идёт число Нам нужно доказать, что равенство

невозможно ни при каких k и n. Перепишем это равенство в виде:

Число n при делении на 3 может давать остатки 0, 1 или 2. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

1.

2.

3.

Всюду имеем противоречие: левая часть 6k делится на 3, а правая часть на 3 не делится (остаток 2 в первом и третьем случаях, остаток 1 во втором случае).

Таким образом, прогрессия 2, 5, 8, ... действительно не содержит запрещённых чисел. Поскольку для неё S = 155, то 155 — наименьшее значение величины S.

Ответ: 155.