Последовательности и прогрессии
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
и 
получим 
где 
и 
— взаимно простые натуральные числа. Тогда прогрессия имеет вид:
делится на 
а значит, 
откуда 
Так как 
Но 
Отсюда 
Натуральные числа 
образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причём все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение 
Тогда 
Тогда 
Значит, числа 
— одной чётности, а так как 
получаем: 
Так как 
находим, что 
откуда 
равно 
при этом 
Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.
то есть 
или 
где 
Найдём 
Общие члены двух прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 14, а последним — равным 
Значит, 
откуда 
Поэтому 
Дана последовательность из нескольких натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех членов последовательности равна 437.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?
Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Пройти тестирование по этим заданиям
Знаки проставляются только подбором?
Да.
а сумма не может быть отрицательной? и если нет, то почему?
Может
Тогда почему в ответе 1? из-за слов "по модулю"?
да
Коллеги, я предлагаю пояснить:
1. Почему последовательности необходимо суммировать 5 и 7 раз соответственно.
2. Зачем дано трудно перевариваемое объяснение в п. 2.
3. Как без перебора привести пример минимальной суммы и нужен ли пример для решения задачи.
Мои предложения:
1 Обозначим
последовательность 
и 
последовательность 
Наличие тридцати пяти разностей означает, что каждое число из 
взаимодействовало пять раз с числами из 
а каждое число из 
семь раз вычиталось из чисел 
Следовательно конечная сумма состоит из пяти сумм 
и семи сумм 
2. Минимальная возможная сумма последовательности целых чисел по модулю равна нулю. Если сумма чисел последовательности нечетна, то минимальное возможное значение по модулю может быть
В нашей задаче
Учтем, что любая 
— нечетное число. Выпишем два столбца произведений натуральных чисел на числа 
и 
Найдем наименьшие (для простоты) значения в обоих столбцах отличающиеся на единицу, причем в столбце произведений на 
это должно быть нечетное число, так как 
число нечетное. Минимальные числа в столбцах 
и 
Таким образом, необходимо найти 
и 
Так как при всех положительных знаках 
то необходимо разбить элементы 
на две подсуммы с разностью 
Значения подсумм 
и 
Далее вручную формируем группы 
и 
и 
Аналогично вторая последовательность разбивается на группы
и 
Итоговая сумма равна
Спасибо за уточнения.
Пример, для полного решения задачи необходим: именно он и доказывает, что указанные суммы достигаются.