а)  При­ведём при­мер гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии из четырёх чле­нов: взяв и по­лу­чим

б)  До­ка­жем, что про­грес­сии из пяти чле­нов, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­вию за­да­чи, не су­ще­ству­ет.

Пред­по­ло­жим, такая по­сле­до­ва­тель­ность есть. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти она воз­рас­та­ет; пусть её зна­ме­на­тель есть где m и k  — вза­им­но про­стые на­ту­раль­ные числа. Тогда про­грес­сия имеет вид:

Так как m и k вза­им­но про­сты, де­лит­ся на а зна­чит, от­ку­да Так как Но k  — целое, по­это­му От­сю­да

По­это­му

что про­ти­во­ре­чит тре­бо­ва­нию за­да­чи.

Ответ: а) да. б) нет.

Пусть Тогда Тогда

По­ло­жим Зна­чит, числа   — одной чётно­сти, а так как по­лу­ча­ем:

Зна­чит,

При этих усло­ви­ях не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние Так как на­хо­дим, что от­ку­да

Далее пе­ре­би­ра­ем слу­чаи:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние b равно при этом

Ответ: 1369.

Ясно, что

Общие члены про­грес­сий удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию:

Левая часть по­след­не­го урав­не­ния де­лит­ся на 3, по­это­му то есть или где Найдём Общие члены двух про­грес­сий сами об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном рав­ным 14, а по­след­ним  — рав­ным Зна­чит, от­ку­да По­это­му

Ответ: 49 и 29.

а)  По­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов, так как урав­не­ния x + (x + 12) = 437, x +8x = 437 не­раз­ре­ши­мы в целых чис­лах.

По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов, на­при­мер, так: 25 + 200 + 212 = 437.

б)  Сумма двух со­сед­них чисел равна как ми­ни­мум 9; по­сколь­ку 437 = 48 · 9 + 5, будет самое боль­шее 48 пар и ещё одно число. Но сумма может быть равна 9 толь­ко для пары 1 + 8, а если все пары такие, то до­ба­вить к ним число 5 нель­зя. А для осталь­ных пар сумма равна как ми­ни­мум 14. По­это­му на самом деле 97 чисел обес­пе­чить нель­зя, а 96 чисел можно в си­ту­а­ции 1, 8, 1, 8, 1, 8, ..., 1, 8, 1, 13 (пара 1, 8 по­вто­ря­ет­ся 47 раз).

Ответ: а) 3; б) 96.

1.  Если все числа пер­во­го на­бо­ра взяты с плю­са­ми, а вто­ро­го  — с ми­ну­са­ми, то сумма мак­си­маль­на и равна

2.  Так как преды­ду­щая сумма ока­за­лась не­чет­ной, то число не­чет­ных сла­га­е­мых в ней  — не­чет­но, при­чем это свой­ство всей суммы не ме­ня­ет­ся при из­ме­не­нии знака лю­бо­го ее сла­га­е­мо­го. По­это­му любая из по­лу­чен­ных сумм будет не чет­ной, а зна­чит, не будет равна 0.

3.  Зна­че­ние 1 сумма при­ни­ма­ет, на­при­мер, при сле­ду­ю­щей рас­ста­нов­ке зна­ков у чисел:

Ответ: 1 и 805.