ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 27265 Добавить в вариант

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, $AB = 13,$ $тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Найдите $AH.$

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$AH=AC косинус A= левая круглая скобка AB косинус A правая круглая скобка косинус A = AB косинус в квадрате A=$
$=AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби =13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби конец дроби =13 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 26 конец дроби =12,5.$

Ответ: 12,5.

Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).

Из треугольника ACH найдем $тангенс A= дробь: числитель: CH, знаменатель: AH конец дроби ,$ значит, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: CH , знаменатель: AH конец дроби ,$ откуда $CH = дробь: числитель: AH , знаменатель: 5 конец дроби .$ По свойству прямоугольного треугольника $CH в квадрате = AH умножить на HB .$ Пусть $AH=x ,$ тогда $HB =13 минус x,$ следовательно,

$левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =x левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби =13 x минус x в квадрате равносильно x в квадрате =13 умножить на 25 x минус 25 x в квадрате равносильно$
$равносильно 26 x в квадрате минус 13 умножить на 25 x=0 равносильно 13 x левая круглая скобка 2 x минус 25 правая круглая скобка =0 ,$ $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =x левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби =13 x минус x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате =13 умножить на 25 x минус 25 x в квадрате равносильно$
$равносильно 26 x в квадрате минус 13 умножить на 25 x=0 равносильно 13 x левая круглая скобка 2 x минус 25 правая круглая скобка =0 ,$

откуда $x=0,$ что не подходит, или

$2 x минус 25=0 равносильно 2x=25 равносильно x=12,5.$

Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).

Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть $AH=x ,$ тогда $HB =13 минус x.$ Из треугольника ACH имеем $CH=AH умножить на тангенс A= дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби .$ Из треугольника BCH имеем $CH= дробь: числитель: BH, знаменатель: тангенс A конец дроби =5 левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка .$ Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим

$дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби =5 левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 26x, знаменатель: 5 конец дроби =65 равносильно x=12,5.$

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Спрятать решение · Видеокурс · Помощь