Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольнике ABC, AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 1 : 5. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Спрятать критерииПусть AD = d, BD = x, CD = y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников
Откуда получаем: 
Аналогично, 
Тогда 
Возможны два случая:
1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда x = 1,5, y = 7,5, значит, EF = 4,5.
2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда y − x = BC = 9, значит, EF = 6.
Ответ: 4,5 или 6.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник