Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 507177
i

В тре­уголь­ни­ке ABC,AB=15,BC=7,CA=9. Точка D лежит на пря­мой BC при­чем BD:DC=2:3. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в каж­дый из тре­уголь­ни­ков ADC и ADB ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть AD=d, BD=x, DC=y. Ис­поль­зуя свой­ства ка­са­тель­ных, под­счи­та­ем раз­ны­ми спо­со­ба­ми пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков

P_ADC=AE плюс ED плюс DC плюс AC=d плюс y плюс 9=2DE плюс 2 умно­жить на 9.

От­ку­да по­лу­ча­ем: DE= дробь: чис­ли­тель: d плюс y минус 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ана­ло­гич­но, DF= дробь: чис­ли­тель: d плюс x минус 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда ,EF=|DE минус DF|=\left| дробь: чис­ли­тель: 6 плюс y минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби |.

Воз­мож­ны два слу­чая:

1.  Точка D лежит на от­рез­ке BC. Тогда x= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,y= дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , зна­чит, EF= дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

 

2.  Точка D лежит вне от­рез­ка BC. Тогда y минус x=BC=7, зна­чит, EF= дробь: чис­ли­тель: 6 плюс 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби или дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 484610: 484611 507177 507178 ... Все

Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026