Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.
Пусть Q — центр искомой окружности радиуса х, М — точка касания с данной окружностью, В — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому AO = AQ + QM + MO, или 10 = 2x + x + 4, откуда находим, что x = 2.
Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),
тогда AQ = AO + OM + MQ, или 2x = 10 + x + 4, откуда x = 14.
Ответ: 2 или 14.