Дана окружность радиуса 6 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 
Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 15.
Пусть Q — центр искомой окружности радиуса х, М — точка касания с данной окружностью, В — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому 
Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что 
Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому 
или 
откуда находим, что 
Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),
тогда 
или 
откуда 
Ответ: 3 или 21.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |