Центр O окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.
Пусть Q — центр искомой окружности радиуса x, B — точка касания одной из сторон данного угла с вершиной A. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x + 4), откуда находим, что x = 2.
Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (4 + x), откуда x = 14.
Рассмотрим случай внутреннего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x − 4), откуда находим, что 
Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (x − 4), откуда x = 6.
Ответ: 2; 14; 
6.