Пусть Q — центр искомой окружности радиуса x, B — точка касания одной из сторон данного угла с вершиной A. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x + 4), откуда находим, что x = 2.

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (4 + x), откуда x = 14.

Рассмотрим случай внутреннего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x − 4), откуда находим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (x − 4), откуда x = 6.

Ответ: 2; 14; 6.

Пусть Q — центр искомой окружности радиуса х, М — точка касания с данной окружностью, В — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому , или , откуда находим, что

Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),

тогда , или , откуда

Ответ: 3 или 21.

Пусть — центр искомой окружности радиуса — точка касания одной из сторон данного угла с вершиной Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому Из прямоугольного треугольника находим, что Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Если точка лежит между и (см. рис.), то или откуда находим, что

Если точка лежит между и (см. рис.), то или откуда

Рассмотрим случай внутреннего касания окружностей. Если точка лежит между и (см. рис.), то или откуда находим, что

Если точка лежит между и (см. рис.), то или откуда

Ответ: 1; 7; 3.