точка не является точкой максимума так как эта точка излома графика функции, производная в этой точке не существует!

Здравствуйте.

Господин "Гость" прав, ведь в точке экстремума мы не только имеем тот факт, что производные "справа и слева от точки" различаются по знаку, но также тот факт, что ПРОИЗВОДНАЯ В САМОЙ ТОЧКЕ ЭКСТРЕМУМА ОБРАЩАЕТСЯ В НОЛЬ. Это не имеет места в данном случае.

Причиной этого факта является то, что в точке пересечения парабол (в первом случае) МЫ НЕ МОЖЕМ ПРОВЕСТИ КАСАТЕЛЬНУЮ в точке их пересечения.

Тангенсы касательных будут различны по знакам в близости (справа и слева) от точки пересечения парабол, но В САМОЙ ТОЧКЕ НЕТ КАСАТЕЛЬНОЙ.

На первый взгляд это кажется странным. Именно, ведь функция f(x) непрерывна, и, казалось бы, она обязана иметь производную в каждой "точке". . .

Дело здесь в том, что под "производной в точке" мы на деле подразумеваем изменение функции в бесконечно малом. Но правильнее говорить В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИ малом. Именно, всякая парабола, как и всякая кривая вообще, "на деле" представляет собой СОВОКУПНОСТЬ ЛОМАНЫХ. Всякая ломаная задается двумя бесконечно близкими (правильней - дифференциально близкими) точками. ВСЯКИЕ ДВЕ ТАКИЕ ТОЧКИ И ЗАДАЮТ ПРЯМУЮ, ЧЕРЕЗ КОТОРУЮ МЫ ПРОВОДИМ КАСАТЕЛЬНУЮ "В ТОЧКЕ". Правильней "точку" называть "БИНАРНОЙ", или "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ", но лучше всего, как обычно в дифференциальной геометрии говорить о "дифференциальном элементе" кривой.

В данном случае (как и в случае, с треугольником в вершине которого мы пытаемся провести касательную) мы имеем НЕ ТОЧКУ, НО СТЫКОВКУ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, КАЖДЫЕ ИЗ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЮТ НАКЛОН КАСАТЕЛЬНОЙ. Поэтому здесь мы имеем неправильное понимание понятия "производной".