Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 484644

Найти все значения a, при каждом из которых функция

f(x)=x в степени 2 минус 2|x минус a в степени 2 | минус 8x

имеет более двух точек экстремума.

Спрятать решение

Решение.

1. Функция f(x) имеет вид

а) при x\geqslant a в степени 2 :f(x)=x в степени 2 минус 10x плюс 2a в степени 2 , поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=5;

б) при x\leqslant a в степени 2 :f(x)=x в степени 2 минус 6x минус 2a в степени 2 , поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3.

2. Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках:

Графики обеих квадратичных функции проходят через точку (a в степени 2 , f(a в степени 2 )).

3. Функция y=f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1):

3 меньше a в степени (2) меньше 5 равносильно корень из 3 меньше |a| меньше корень из 5.

Ответ:  минус корень из 5 меньше a меньше минус корень из 3;  корень из 3 меньше a меньше корень из 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. 3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484644: 507185 507186 507187 507188 507189 507191 507482 Все

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 08.01.2014 14:31

точка a в степени 2 не является точкой максимума так как эта точка излома графика функции, производная в этой точке не существует!

Константин Лавров

Советуем вам еще раз изучить тему экстремумы функций, причем начать с определения экстремума.

Игорь Дымченко 30.01.2017 14:54

Здравствуйте.

Господин "Гость" прав, ведь в точке экстремума мы не только имеем тот факт, что производные "справа и слева от точки" различаются по знаку, но также тот факт, что ПРОИЗВОДНАЯ В САМОЙ ТОЧКЕ ЭКСТРЕМУМА ОБРАЩАЕТСЯ В НОЛЬ. Это не имеет места в данном случае.

Причиной этого факта является то, что в точке пересечения парабол (в первом случае) МЫ НЕ МОЖЕМ ПРОВЕСТИ КАСАТЕЛЬНУЮ в точке их пересечения.

Тангенсы касательных будут различны по знакам в близости (справа и слева) от точки пересечения парабол, но В САМОЙ ТОЧКЕ НЕТ КАСАТЕЛЬНОЙ.

На первый взгляд это кажется странным. Именно, ведь функция f(x) непрерывна, и, казалось бы, она обязана иметь производную в каждой "точке". . .

Дело здесь в том, что под "производной в точке" мы на деле подразумеваем изменение функции в бесконечно малом. Но правильнее говорить В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИ малом. Именно, всякая парабола, как и всякая кривая вообще, "на деле" представляет собой СОВОКУПНОСТЬ ЛОМАНЫХ. Всякая ломаная задается двумя бесконечно близкими (правильней - дифференциально близкими) точками. ВСЯКИЕ ДВЕ ТАКИЕ ТОЧКИ И ЗАДАЮТ ПРЯМУЮ, ЧЕРЕЗ КОТОРУЮ МЫ ПРОВОДИМ КАСАТЕЛЬНУЮ "В ТОЧКЕ". Правильней "точку" называть "БИНАРНОЙ", или "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ", но лучше всего, как обычно в дифференциальной геометрии говорить о "дифференциальном элементе" кривой.

В данном случае (как и в случае, с треугольником в вершине которого мы пытаемся провести касательную) мы имеем НЕ ТОЧКУ, НО СТЫКОВКУ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, КАЖДЫЕ ИЗ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЮТ НАКЛОН КАСАТЕЛЬНОЙ. Поэтому здесь мы имеем неправильное понимание понятия "производной".

Александр Иванов

Игорь, господин "Гость" по-прежнему не прав и Вы вместе с ним

Равенство производной нулю не является необходимым условием для точек экстремума.