ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 507482 Добавить в вариант

Найти все значения a, при каждом из которых функция

$f(x)=x в степени 2 минус 2|x минус a в степени 2 | минус 4x$

имеет хотя бы одну точку максимума.

Спрятать решение

Решение.

Раскроем модуль:

$f(x)= система выражений новая строка x в степени 2 минус 6x плюс 2a в степени 2 ,приx\geqslant a в степени 2 , новая строка x в степени 2 минус 2x минус 2a в степени 2 ,приx меньше a в степени 2 . конец системы$

График функции при $x\geqslant a в степени 2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины $x=3.$ При $x меньше a в степени 2$ график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины $x=1.$ Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях параметра (см. рис.).

Ясно, функция достигает максимума в точке $x=a в степени 2 ,$ причём тогда и только тогда, когда $1 меньше a в степени 2 меньше 3.$ Тем самым, $минус корень из (3) меньше a меньше минус 1$ или $1 меньше a меньше корень из (3) .$

Ответ: $( минус корень из (3) ; минус 1)\cup(1; корень из (3) ).$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (напрмер, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки.	3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна.	2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 484644: 507185 507186 507187 507188 507189 507191 507482 Все

Классификатор алгебры: Кусочное построение графика функции

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

артем артем 30.12.2016 19:26

там точка минимума приводится.

Кирилл Колокольцев

Это точка максимума.

Семен Лукъянов 03.01.2017 19:14

А разве обе параболы пересекаются в одной и той же точке при x=a^2 ? При подстановке в уравнения, которые образованы при раскрытии модуля, получаются разные значения.

Кирилл Колокольцев

Получатся одинаковые значения $f(a в степени 2 )=a в степени 4 минус 4a в степени 2 .$