Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д11 C3 № 500368
i

Ре­шить си­сте­му не­ра­венств  левая фи­гур­ная скоб­ка \beginmatrix \dfrac3 минус 4 в сте­пе­ни x 2 минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1,5, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1. \endmatrix .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну y=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка :

 дробь: чис­ли­тель: 3 минус y в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 минус y конец дроби боль­ше или равно 1,5 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: y в квад­ра­те минус 1,5y, зна­ме­на­тель: y минус 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: y левая круг­лая скоб­ка y минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: y минус 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но  со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка 0 мень­ше или равно y мень­ше или равно 1,5  новая стро­ка y боль­ше 2. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда 0 мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2, от­ку­да: x мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 или x боль­ше 1.

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: x в квад­ра­те боль­ше 1.

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше 2 минус x мень­ше или равно x в квад­ра­те рав­но­силь­но  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 боль­ше или равно 0,  новая стро­ка 2 минус x боль­ше 0; конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,  новая стро­ка x мень­ше 2/ конец си­сте­мы .

От­ку­да, учи­ты­вая усло­вие x в квад­ра­те боль­ше 1, по­лу­ча­ем: x мень­ше или равно минус 2 или 1 мень­ше x мень­ше 2.

Вто­рой слу­чай: 0 мень­ше x в квад­ра­те мень­ше 1.

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 2 минус x боль­ше или равно x в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но  минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1.

Учи­ты­вая усло­вие 0 мень­ше x в квад­ра­те мень­ше 1, по­лу­ча­ем:  минус 1 мень­ше x мень­ше 0 или 0 мень­ше x мень­ше 1.

Мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность , минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1,0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0,1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1,2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

3.  Учи­ты­вая, что 0 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1, по­лу­ча­ем ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

По­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500133: 500368 500591 505525 Все

Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Анатолий Писоцкий (Сочи) 30.11.2012 23:24

Доб­ро­го вре­ме­ни суток, ува­жа­е­мая СП. Во­прос по по­во­ду вто­ро­го не­ра­вен­ства (в от­ры­ве от пер­во­го). Об­ра­ти­те вни­ма­ние на ос­но­ва­ние и со­дер­жи­мое ло­га­риф­ма. При x =1 не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся в части ра­вен­ства и уче­ник имел право рас­смот­реть этот слу­чай. Я, как учи­тель, со­гла­сен с таким ре­ше­ни­ем, но оно идёт в раз­рез опре­де­ле­нию. Если возьмём сбор­ник Ершов-Го­ло­бо­родь­ко, то там рас­смат­ри­ва­ют­ся такие слу­чаи. Боль­ше - нигде. И что же? В сбор­ни­ках Ящен­ко-Семёнов это ре­ше­ние не при­ни­ма­ет­ся. Вот так и воз­ни­ка­ют "Чёрные дыры". Ведь х^2=2-х имеет смысл при х=1. Не могли бы осве­тить эту про­бле­му (если можно, то не с фор­маль­ной точки зре­ния).

С ува­же­ни­ем, Ана­то­лий.

Служба поддержки

Доб­ро­го дня!

Дело тут в том, что урав­не­ние 1 в сте­пе­ни x =1 имеет бес­ко­неч­но много кор­ней. По­это­му для при­да­ния смыс­ла ве­ли­чи­не x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 1 1 тре­бо­ва­лось бы до­пол­ни­тель­ное со­гла­ше­ние о том, что счи­тать этой ве­ли­чи­ной.