Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 501609

Окружность радиуса 6 корень из 2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O1 — центр окружности радиуса  6 корень из 2, O_2  — второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда

O_1A = дробь: числитель: 6 корень из 2, знаменатель: синус 45 градусов конец дроби

Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис.1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 20, откуда радиус второй окружности O_2M = 10 корень из 2 .

В треугольнике O1MO2 имеем: O_1O_2 = 8, O_1M = 6 корень из 2,O_2M = 10 корень из 2. Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.

Полупериметр треугольника O1MO2 равен p = 4 плюс 8 корень из 2, тогда для площади треугольника имеем:

S_O_1MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка = 8 корень из 14,

откуда MH = дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби =2 корень из 14, MN = 2MH = 4 корень из 14.

 

Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис.2), тогда O2A = O1A − O1O2 = 4, откуда радиус второй окружности O_2M=2 корень из 2. В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 8, O_1M=6 корень из 2, O_2M=2 корень из 2. Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O1MO2 равна половине MN.

В треугольнике O1MO2 полупериметр:

p = дробь: числитель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, знаменатель: 2 конец дроби = 4 плюс 4 корень из 2,

S_O_1MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка = 8 корень из 2,

откуда MH = дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби =2 корень из 2, MN = 2MH = 4 корень из 2.

Вычисления для второго случая можно упростить: поскольку длины OM, O2M и O1O2 являются пифагоровой тройкой, точка H совпадает с центром O2, а потому MN=2 умножить на 2 корень из 2 .

 

Приведём решение задачи методом координат.

Заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла, поэтому расстояние между центрами окружностей радиусов R и r равно R корень из 2 минус r корень из 2, где R > r. По условию это расстояние равно 8, поэтому если радиус большей окружности R=6 корень из 2 (случай 1), то:

 r= дробь: числитель: 6 корень из 2 корень из 2 минус 8, знаменатель: корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби корень из 2 =2 корень из 2.

а если радиус меньшей окружности r=6 корень из 2 (случай 2), то:

 R= дробь: числитель: 6 корень из 2 корень из 2 плюс 8, знаменатель: корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 20, знаменатель: корень из 2 конец дроби =10 корень из 2.

Поместим начало системы координат в вершине прямого угла, а координатные оси расположим вдоль его сторон. Тогда в случае 1 координаты точек пересечения окружностей можно найти из системы уравнений:

 система выражений левая круглая скобка x минус 2 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате , левая круглая скобка x минус 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате , конец системы

решая которую, находим: M левая круглая скобка 2 корень из 2 минус 2; 2 корень из 2 плюс 2 правая круглая скобка ,N левая круглая скобка 2 корень из 2 плюс 2; 2 корень из 2 минус 2 правая круглая скобка . Тогда по формуле расстояния между двумя точками находим: MN в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 2 минус 2 минус 2 корень из 2 минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2 корень из 2 плюс 2 минус 2 корень из 2 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 4 в квадрате плюс 4 в квадрате = 32, откуда MN = 4 корень из 2.

В случае 2 имеем систему уравнений:

 система выражений левая круглая скобка x минус 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате , левая круглая скобка x минус 10 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 10 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 10 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате , конец системы

решая которую, находим: M левая круглая скобка 4 корень из 2 минус 2 корень из 7; 4 корень из 2 плюс 2 корень из 7 правая круглая скобка ,N левая круглая скобка 4 корень из 2 плюс 2 корень из 7; 4 корень из 2 минус 2 корень из 7 правая круглая скобка . Далее находим

MN в квадрате = левая круглая скобка 4 корень из 7 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 4 корень из 7 правая круглая скобка в квадрате = 122 плюс 112 = 224,

откуда MN = 4 корень из 14.

 

Ответ: 4 корень из 2 или 4 корень из 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены всевозможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ.3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины.2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501609: 502117 502137 503255 511364 511375 Все

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей