Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 502117

Окружность радиуса 8 корень из 2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O1  — центр окружности радиуса 8 корень из 2 , O2  — центр второй окружности, A  — вершина прямого угла, тогда

O_1 A= дробь: числитель: 8 корень из 2 , знаменатель: синус 45 градусов конец дроби =16.

Возможны два случая.

Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 28, откуда радиус второй окружности O_2 M = 14 корень из 2 .

В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 12, O_1 M = 8 корень из 2 , O_2 M = 14 корень из 2 . Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.

В треугольнике O1MO2 полупериметр p= дробь: числитель: O_1 O_2 плюс O_1 M плюс O_2 M, знаменатель: 2 конец дроби = 6 плюс 11 корень из 2.

 

S_O_1 MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1 O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1 M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1 M правая круглая скобка = 6 корень из 103,

 

откуда MH= дробь: числитель: 2 S_O_1 MO_2, знаменатель: O_1 O_2 конец дроби = корень из 103, MN=2MH=2 корень из 103.

 

Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 откуда радиус второй окружности O_2M=2 корень из 2.

В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 12, O_1M=8 корень из 2, O_2M=2 корень из 2. Аналогично первому случаю, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.

В треугольнике O1MO2 полупериметр p= дробь: числитель: O_1 O_2 плюс O_1 M плюс O_2 M, знаменатель: 2 конец дроби = 6 плюс 5 корень из 2.

S_O_1 MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1 O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1 M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2 M правая круглая скобка = 6 корень из 7,

откуда MH= дробь: числитель: 2 S_O_1 MO_2, знаменатель: O_1 O_2 конец дроби = корень из 7;MN=2MH=2 корень из 7.

 

Ответ: 2 корень из 7 или 2 корень из 103.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501609: 502117 502137 503255 511364 511375 Все

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013