Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 502137

Окружность радиуса 12 корень из 2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O1  — центр окружности радиуса 12 корень из 2 , O2  — центр второй окружности, A  — вершина прямого угла, тогда O_1A= дробь: числитель: 12 корень из 2, знаменатель: синус 45 градусов конец дроби =24.

Возможны два случая.

 

Первый случай.

Точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда

O_2A=O_1A плюс O_1O_2=40,

откуда радиус второй окружности O_2M = 20 корень из 2. В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 16, O_1M =12 корень из 2,O_2M= 20 корень из 2.

Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2, равна половине MN.

В треугольнике O1MO2, полупериметр

p= дробь: числитель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, знаменатель: 2 конец дроби =8 плюс 16 корень из 2.

 

S_O_1MO_2 = корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка = 32 корень из 14,

откуда

MH = дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби =4 корень из 14, MN=2MH=8 корень из 14.

 

Второй случай.

Точка O2, лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 = 8, откуда радиус второй окружности O_2M =4 корень из 2.

В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 16, O_1M =12 корень из 2, O_2М = 4 корень из 2.

Аналогично первому случаю, высота MH треугольника O1MO2, равна половине MN.

В треугольнике O1MO2, полупериметр

p= дробь: числитель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, знаменатель: 2 конец дроби =8 плюс 8 корень из 2.

 

S_O_1MO_2 = корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка = 32 корень из 2,

откуда

MH = дробь: числитель: 2S_O_1MО_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби =4 корень из 2, MN=2MH=8 корень из 2.

 

Ответ: 8 корень из 2,8 корень из 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501609: 502117 502137 503255 511364 511375 Все

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902.
Методы геометрии: Метод координат