Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511364

Окружность радиуса 12 корень из 2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN.

Спрятать решение

Решение.

Пусть О_1   — центр окружности радиуса  12 корень из 2,  O_2   — второй окружности, A  — вершина прямого угла, тогда

O_1A = дробь: числитель: 12 корень из 2, знаменатель: синус 45 градусов конец дроби

Возможны два случая. Первый случай: точка O_1 лежит между точками A и O_2 (рис. 1), тогда O_2A = O_1A плюс O_1O_2 = 40 , откуда радиус второй окружности O_2M = 20 корень из 2 .

В треугольнике O_1MO_2 имеем: O_1O_2 = 16, O_1M = 12 корень из 2,  O_2M = 20 корень из 2. Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O_1O_2 и делится ею пополам, высота MN треугольника O_1MO_2 равна половине MN.

Полупериметр треугольника O_1MO_2 равен p = 8 плюс 16 корень из 2, тогда для площади треугольника имеем:

S_O_1MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка = 32 корень из 14,

откуда MN = дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби =4 корень из 14; MN = 2MH = 8 корень из 14.

 

Второй случай: точка O_2 лежит между точками A и O_1 (рис. 2), тогда O_2A=O_1A минус O_1O_2=8, откуда радиус второй окружности O_2M=4 корень из 2. В треугольнике O_1MO_2 имеем O_1O_2=16, O_1M=12 корень из 2, O_2M=4 корень из 2. Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O_1MO_2 равна половине MN.

 

В треугольнике O_1MO_2 полупериметр:

p = дробь: числитель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, знаменатель: 2 конец дроби = 8 плюс 8 корень из 2,

S_O_1MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка = 32 корень из 2,

откуда MN = дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби =4 корень из 2; MN = 2MH = 8 корень из 2.

 

 

Ответ: 8 корень из 2 или 8 корень из 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены всевозможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ.3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины.2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501609: 502117 502137 503255 511364 511375 Все

Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей