Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 503255

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O1  — центр окружности радиуса 6, O2  — центр второй окружности, O  — вершина угла, в который вписаны окружности, A и B  — точки касания соответственно первой и второй окружностей с одной из сторон угла, тогда OO1 = 2O1A = 12.

Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками O и O2 (рис. 1), тогда OO2 = OO1 + O1O2 = 16, откуда радиус второй окружности

O_2M=O_2B= дробь: числитель: OO_2, знаменатель: 2 конец дроби =8.

В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 4, O1M = 6, O2M = 8. Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.

В треугольнике O1MO2 полупериметр p= дробь: числитель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, знаменатель: 2 конец дроби =9.

S_O_1MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка =3 корень из 15,

откуда

MH= дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби ;MN=2MH=3 корень из 15.

Второй случай: точка O2 лежит между точками O и O1 (рис. 2), тогда OO2 = OO1 − O1O2 = 8, откуда радиус второй окружности

O_2M=O_2B= дробь: числитель: OO_2, знаменатель: 2 конец дроби =4.

Аналогично первому случаю, в треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 4, O1M = 6, O2M = 4, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.

В треугольнике O1MO2 полупериметр p= дробь: числитель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, знаменатель: 2 конец дроби =7.

S_O_1MO_2= корень из p левая круглая скобка p минус O_1O_2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_1M правая круглая скобка левая круглая скобка p минус O_2M правая круглая скобка =3 корень из 7,

откуда

MH= дробь: числитель: 2S_O_1MO_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби ;MN=2MH=3 корень из 7.

 

Ответ: 3 корень из 7 или 3 корень из 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501609: 502117 502137 503255 511364 511375 Все

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток. Вариант 1., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013
Методы геометрии: Метод координат