ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д9 C2 № 503147 Добавить в вариант

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ известны рёбра: $AB = 3, AD=2, AA_1=5.$ Точка O принадлежит ребру $BB_1$ и делит его в отношении $2:3,$ считая от вершины $B.$ Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A, O$ и $C_1.$

Спрятать решение

Решение.

Сечение плоскостью $AOC_1$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $P.$ Отрезок AP параллелен $C_1O,$ отрезок $C_1P$ параллелен $AO.$ Следовательно, искомое сечение — параллелограмм $AOC_1P$ (рис. 1). Далее имеем:

$BO= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби BB_1=2,B_1O=3,$

$C_1O= корень из (C_1B_1) в квадрате плюс B_1O в квадрате = корень из (4 плюс 9) = корень из (13) ,$

$AO= корень из (AB в квадрате плюс BO в квадрате ) = корень из (9 плюс 4) = корень из (13) .$

Значит, $AOC_1P$  — ромб. Найдем его диагонали:

$AC_1= корень из (AB в квадрате плюс BC в квадрате плюс CC_1) в квадрате = корень из (9 плюс 4 плюс 25) = корень из (38) ,$

$OP=2 корень из (AO в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AC_1 в квадрате ) = корень из (4 умножить на 13 минус 38) = корень из (14) .$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

$S_AOC_1P= дробь: числитель: AC_1 умножить на OP, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из (38) умножить на корень из (14) = корень из (133) .$

Ответ: $корень из (133) .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 501752: 501885 502314 503147 510662 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Площадь сечения, Прямоугольный параллелепипед, Сечение — параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки

Спрятать решение · Прототип задания · ·

Сообщить об ошибке · Помощь