СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508639

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол  Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

Решение.

Пусть SABCD — заданная пирамида, O — центр его основания.

а) Построим последовательно:

1) Отрезок SO. (SO — высота пирамиды).

2) Отрезок

3) Прямую

4) Отрезки AE, TE, KT, AK.

Четырехугольник AKTE — искомое сечение. Докажем это.

Так как через две пересекающиеся прямые AT и PK проходит единственная плоскость, то все точки A, K, T и Е будут лежать в одной плоскости.

Осталось доказать, что эта плоскость будет перпендикулярна прямой SC. Для этого достаточно доказать, что прямая SC будет перпендикулярна еще какой-либо прямой, отличной от АТ, лежащей в этой плоскости, например, прямой KE.

Прежде докажем, что

По свойству квадрата имеем: Из перпендикулярности SO и (ABC) следует SO и AC — две пересекающиеся прямые плоскости ASC. Значит, В таком случае прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ASC, в том числе и к прямой SC. Но KE || BD по построению. Отсюда:

Заметим, что:

— равносторонний, так как Следовательно, SO — высота, медиана и биссектриса

Поскольку AT — по построению высота равностороннего AT — его медиана, т. е. так как KE || BD, то — равносторонний, причем SP — его биссектриса, следовательно, и медиана KP = PE; P — точка пересечения медиан : SO и AT; следовательно, а из параллельности PK и OD по теореме Фалеса следует:

Так как заданная пирамида правильная, то она зеркально симметрична относительно плоскости ASC, отсюда:

По свойству отношения объемов треугольных пирамид имеем:

Способ 2.

В по теореме косинусов будем иметь:

т. е.

В по этой же теореме:

В

Как видим, в этом треугольнике выполняется условие теоремы, обратной теореме Пифагора, откуда

Итак, ребро SC пирамиды перпендикулярно к двум пересекающимся прямым АТ и KT, лежащим в плоскости построенного четырехугольника AETK. Значит, эта плоскость перпендикулярна ребру SC. Из перпендикулярности SC и (ETK) следует, что В таком случае KT = ET как проекции равных наклонных SK и SE к (ETK), т. е. В пирамиде SAETK с основанием AETK отрезок ST — высота пирамиды.

Значит,

 

Ответ: б) 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида