СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508644

а) Пусть p — простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть p > 5 — простое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) делится на p.

Решение.

а) Заметим, что Согласно малой теореме Ферма и 10 дают одинаковый остаток при делении на , поэтому не делится на (так как 9 не делится на ).

 

б) Заметим, что Если простое число больше 5, то оно взаимно просто с числами 9 и 10. По малой теореме Ферма делится на , поэтому и делится на

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства