Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 509824

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Спрятать решение

Решение.

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено x руб., а второго — оставшиеся (900 000 − x) руб. Тогда на первом заводе можно оплатить  дробь: числитель: x, знаменатель: 250 конец дроби часов работы, а на втором —  дробь: числитель: 900000 минус x, знаменатель: 200 конец дроби часов работы. Количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее целое значение функции

f(x)= корень из ( дробь: числитель: x, знаменатель: конец дроби 250) плюс корень из ( дробь: числитель: 900000 минус x, знаменатель: 200 конец дроби ) = дробь: числитель: корень из (10x) , знаменатель: 50 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из (1800000 минус 2x) , знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 (2 корень из (10x) плюс 5 корень из (1800000 минус 2x) )

на отрезке 0\leqslant x\leqslant 900000. Найдём ее производную:

f'(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: корень из (10) , знаменатель: корень из x конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: корень из (1800000 минус 2x конец дроби ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 дробь: числитель: корень из (18000000 минус 20x) минус 5 корень из x , знаменатель: корень из (1800000 минус 2x конец дроби корень из x ) .

Решая уравнение f'(x)=0, получаем:

 корень из (18000000 минус 20x) минус 5 корень из x = 0 равносильно 18000000 минус 20x = 25 x равносильно x=400000.

Поскольку производная непрерывной функции f (x) положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f (x) достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000. Найдём его:

f(400000) = корень из ( дробь: числитель: 400000, знаменатель: 250 конец дроби ) плюс корень из ( дробь: числитель: 500000, знаменатель: 200 конец дроби ) = корень из (1600) плюс корень из (2500) =40 плюс 50=90.

Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.

 

Ответ: 90.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 509824: 517742 517753 518117 Все

Источник: ЕГЭ по математике 2015. Досрочная волна, резервная волна (часть С)
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Святослав Холодов 04.03.2017 10:33

Я так понимаю данное решение верно для равного количества рабочих на заводах?

Константин Лавров

Из условия задачи нам совершенно ничего не известно про количество рабочих на заводах.