Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 509824

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение.

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено x руб., а второго — оставшиеся (900 000 − x) руб. Тогда на первом заводе можно оплатить  дробь, числитель — x, знаменатель — 250 часов работы, а на втором —  дробь, числитель — 900000 минус x, знаменатель — 200 часов работы. Количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее целое значение функции

f(x)= корень из { дробь, числитель — x, знаменатель — { 250}} плюс корень из { дробь, числитель — 900000 минус x, знаменатель — 200 } = дробь, числитель — корень из { 10x}, знаменатель — 50 плюс дробь, числитель — корень из { 1800000 минус 2x}, знаменатель — 20 = дробь, числитель — 1, знаменатель — { 100} (2 корень из { 10x} плюс 5 корень из { 1800000 минус 2x})

на отрезке 0 меньше или равно x меньше или равно 900000. Найдём ее производную:

f'(x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 100 левая круглая скобка дробь, числитель — корень из { 10}, знаменатель — корень из x минус дробь, числитель — 5, знаменатель — корень из { 1800000 минус 2x } правая круглая скобка = дробь, числитель — 1, знаменатель — { 100} дробь, числитель — корень из { 18000000 минус 20x} минус 5 корень из x , знаменатель — корень из { 1800000 минус 2x корень из x }.

Решая уравнение f'(x)=0, получаем:

 корень из { 18000000 минус 20x} минус 5 корень из x = 0 равносильно 18000000 минус 20x = 25 x равносильно x=400000.

Поскольку производная непрерывной функции f (x) положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f (x) достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000. Найдём его:

f(400000) = корень из { дробь, числитель — 400000, знаменатель — 250 } плюс корень из { дробь, числитель — 500000, знаменатель — 200 } = корень из { 1600} плюс корень из { 2500}=40 плюс 50=90.

Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.

 

Ответ: 90.


Аналоги к заданию № 509824: 517742 517753 518117 Все

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, резервный день (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Святослав Холодов 04.03.2017 10:33

Я так понимаю данное решение верно для равного количества рабочих на заводах?

Константин Лавров

Из условия задачи нам совершенно ничего не известно про количество рабочих на заводах.