Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го  — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром  — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее целое зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём ее про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f (x) по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f (x) до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят Вы­ра­зим y через x:

Зна­чит, нам нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при Для этого най­дем про­из­вод­ную функ­ции

Най­дем кри­ти­че­ские точки:

то есть   — един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка, удо­вле­тво­ря­ю­щая усло­вию Най­дем зна­че­ния функ­ции в най­ден­ной точке и на кон­цах от­рез­ка:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 100, зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра равно 100.

Ответ: 100.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние

Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­та­ют сум­мар­но а на вто­ром  — часов в не­де­лю. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии

Вы­ра­зим y из пер­во­го со­от­но­ше­ния: под­ста­вим в (*), по­лу­чим урав­не­ние:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант, а зна­чит, и чет­верть дис­кри­ми­нан­та:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние равно 100. По­ка­жем, что оно до­сти­га­ет­ся при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных: дей­стви­тель­но, из (**) на­хо­дим, что зна­че­нию со­от­вет­ству­ет а тогда

Ответ: 100.

До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят Вы­ра­зим y через x:

Зна­чит, нам нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при Для этого най­дем про­из­вод­ную функ­ции

Най­дем кри­ти­че­ские точки:

то есть   — един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка, удо­вле­тво­ря­ю­щая усло­вию Най­дем зна­че­ния функ­ции в най­ден­ной точке и на кон­цах от­рез­ка:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 80, зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра равно 80.

Ответ: 80.

До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x² часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y² часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние при усло­вии Вы­ра­зим y через x:

при После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на до­сти­га­ет­ся при причём При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем

Ответ: 700 000 руб­лей.