Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 517742

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t в квадрате часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.

Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Спрятать решение

Решение.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся x в квадрате часов, а на заводе, расположенном во втором городе, y в квадрате часов. Тогда в неделю будет произведено x плюс y единиц товара, а затраты на оплату труда составят 200x в квадрате плюс 300y в квадрате =1200000. Выразим y через x:

200x в квадрате плюс 300y в квадрате =1200000 равносильно y в квадрате =4000 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате равносильно y= корень из (4000 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате ) .

Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции Q(x)=x плюс корень из (4000 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате ) при 0 меньше или равно x меньше или равно 20 корень из (15) . Для этого найдем производную функции Q(x):

Q'(x)=1 минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 корень из (4000 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате ) конец дроби .

Найдем критические точки:

Q'(x)=0 равносильно 1= дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 корень из (4000 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате ) конец дроби равносильно 3 корень из (4000 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате ) =2x равносильно 36000 минус 6x в квадрате =4x в квадрате равносильно x в квадрате =3600,

то есть x = 60 — единственная критическая точка, удовлетворяющая условию 0 меньше или равно x меньше или равно 20 корень из (15) . Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

Q(60)=100,Q(20 корень из (15) )=20 корень из (15) ,Q(0)=20 корень из (10) .

Наибольшее значение функции Q(x) равно 100, значит, наибольшее количество единиц товара равно 100.

 

Ответ: 100.

 

Приведем другое решение

Пусть на первом заводе работают суммарно x в квадрате , а на втором — y в квадрате часов в неделю. Требуется найти максимум суммы s=x плюс y при условии

200x в квадрате плюс 300y в квадрате =1200000.(*)

Выразим y из первого соотношения: y=s минус x, подставим в (*), получим уравнение:

200x в квадрате плюс 300(s минус x) в квадрате =1200000 равносильно 5x в квадрате минус (6s)x плюс (3s в квадрате минус 12000) = 0.(**)

Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:

 дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =9s в квадрате минус 5(3s в квадрате минус 12000) больше или равно 0 равносильно минус 100 меньше или равно s меньше или равно 100.

Тем самым, наибольшее возможное значение s=x плюс y равно 100. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению s=100 соответствует x=60, а тогда y=40.

 

Ответ: 100.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 509824: 517742 517753 518117 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервный день. Вариант 501 (C часть), Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор