Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 517742

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t в степени 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.

Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся x в степени 2 часов, а на заводе, расположенном во втором городе, y в степени 2 часов. Тогда в неделю будет произведено x плюс y единиц товара, а затраты на оплату труда составят 200x в степени 2 плюс 300y в степени 2 =1200000. Выразим y через x:

200x в степени 2 плюс 300y в степени 2 =1200000 равносильно y в степени 2 =4000 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x в степени 2 равносильно y= корень из { 4000 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x в степени 2 }.

Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции Q(x)=x плюс корень из { 4000 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x в степени 2 } при 0 меньше или равно x меньше или равно 20 корень из { 15}. Для этого найдем производную функции Q(x):

Q'(x)=1 минус дробь, числитель — 2x, знаменатель — 3 корень из { 4000 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x в степени 2 }.

Найдем критические точки:

Q'(x)=0 равносильно 1= дробь, числитель — 2x, знаменатель — 3 корень из { 4000 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x в степени 2 } равносильно 3 корень из { 4000 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x в степени 2 }=2x равносильно 36000 минус 6x в степени 2 =4x в степени 2 равносильно x в степени 2 =3600,

то есть x = 60 — единственная критическая точка, удовлетворяющая условию 0 меньше или равно x меньше или равно 20 корень из { 15}. Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

Q(60)=100,Q(20 корень из { 15})=20 корень из { 15},Q(0)=20 корень из { 10}.

Наибольшее значение функции Q(x) равно 100, значит, наибольшее количество единиц товара равно 100.

 

Ответ: 100.

 

Приведем другое решение

Пусть на первом заводе работают суммарно x в степени 2 , а на втором — y в степени 2 часов в неделю. Требуется найти максимум суммы s=x плюс y при условии

200x в степени 2 плюс 300y в степени 2 =1200000.(*)

Выразим y из первого соотношения: y=s минус x, подставим в (*), получим уравнение:

200x в степени 2 плюс 300(s минус x) в степени 2 =1200000 равносильно 5x в степени 2 минус (6s)x плюс (3s в степени 2 минус 12000) = 0.(**)

Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:

 дробь, числитель — D, знаменатель — 4 =9s в степени 2 минус 5(3s в степени 2 минус 12000) больше или равно 0 равносильно минус 100 меньше или равно s меньше или равно 100.

Тем самым, наибольшее возможное значение s=x плюс y равно 100. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению s=100 соответствует x=60, а тогда y=40.

 

Ответ: 100.


Аналоги к заданию № 509824: 517742 517753 518117 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть)., Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор