Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 517753

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t в квадрате часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.

Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Спрятать решение

Решение.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся x в квадрате часов, а на заводе, расположенном во втором городе, y в квадрате часов. Тогда в неделю будет произведено x плюс y единиц товара, а затраты на оплату труда составят 500x в квадрате плюс 300y в квадрате =1200000. Выразим y через x:

500x в квадрате плюс 300y в квадрате =1200000 равносильно y в квадрате =4000 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате равносильно y= корень из 4000 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате .

Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции Q левая круглая скобка x правая круглая скобка =x плюс корень из 4000 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате при 0 меньше или равно x меньше или равно 20 корень из 6. Для этого найдем производную функции Q левая круглая скобка x правая круглая скобка :

Q' левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 3 корень из 4000 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби .

Найдем критические точки:

Q' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 равносильно 1= дробь: числитель: 5x, знаменатель: 3 корень из 4000 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби равносильно 3 корень из 4000 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате =5x равносильно 36000 минус 15x в квадрате =25x в квадрате равносильно x в квадрате =900,

то есть x = 30 — единственная критическая точка, удовлетворяющая условию 0 меньше или равно x меньше или равно 20 корень из 6. Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

Q левая круглая скобка 30 правая круглая скобка =80,Q левая круглая скобка 20 корень из 6 правая круглая скобка =20 корень из 6,Q левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =20 корень из 10.

Наибольшее значение функции Q левая круглая скобка x правая круглая скобка равно 80, значит, наибольшее количество единиц товара равно 80.

 

Ответ: 80.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 509824: 517742 517753 518117 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервная волна. Вариант 502 (C часть), Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор