Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510745

Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству 5|x минус 2| плюс 3|x плюс a| меньше или равно корень из 4 минус y в квадрате плюс 7.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим две функции: f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5\left|x минус 2| плюс 3\left|x плюс a| и g левая круглая скобка y правая круглая скобка = корень из 4 минус y в квадрате плюс 7.

Функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5\left|x минус 2| плюс 3\left|x плюс a| является кусочно-линейной, причём при x меньше 2 угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при x больше 2 угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при x меньше 2 и возрастает при x больше 2, поэтому f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3\left|a плюс 2|.

Поскольку y в квадрате больше или равно 0, получаем: g левая круглая скобка y правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = 9.

Если f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка , то f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка , поэтому неравенство  f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка не имеет решений.

Если f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка , то пара чисел x = 2, у = 0 удовлетворяет неравенству  f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка . Получаем:

f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно 3\left|a плюс 2|\leqslant9 равносильно минус 3 меньше или равно a плюс 2\leqslant3 равносильно минус 5 меньше или равно a\leqslant1.

 

Ответ: [−5; 1].

 

 

Примечание.

Рекомендуем сравнить эту задачу с чуть более простыми заданиями 532960 и 532661 на ту же идею.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Обоснованно получены все значения: а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0. Ответ

отличается от верного только исключением точки а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби и/или включением точки а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби

3
Обоснованно получены все значения: а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0 2
Верно найдено одно или два из значений а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби или а = 01
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 701., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013