Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 510849

В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA=6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD=AL=2, и BE=1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим треугольники AMB и CMB, они прямоугольные, имеют общую сторону MB и равные стороны AB и BC, следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, AM=MC=6. Рассмотрим треугольник AMC, воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла CAM:

 косинус \angle CAM= дробь: числитель: AM в квадрате плюс AC в квадрате минус MC в квадрате , знаменатель: 2 умножить на AC умножить на AM конец дроби = дробь: числитель: 36 плюс 9 минус 36, знаменатель: 2 умножить на 3 умножить на 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Из треугольника ADL найдём сторону LD:

LD= корень из AD в квадрате плюс AL в квадрате минус 2AL умножить на AD умножить на косинус \angle CAM= корень из 4 плюс 4 минус 2 умножить на 2 умножить на целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 = корень из 6.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Найдём косинус угла MAB:  косинус \angle MAB= дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Из треугольника ALE найдём сторону LE:

LE= корень из AL в квадрате плюс AE в квадрате минус 2 умножить на AL умножить на AE умножить на косинус \angle MAB= корень из 4 плюс 4 минус 2 умножить на 2 умножить на 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =2.

В треугольнике ADE AE=ED, следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол CAB равен 60°, значит, \angle AED=\angle ADE=60 градусов. Следовательно, треугольник ADE — равносторонний, AD=AE=DE=2.

Опустим высоту EH в равнобедренном треугольнике LDE на основание LD. Найдём EH:

EH= корень из LE в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: LD, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = корень из 4 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 2 конец дроби .

Треугольник DLE — искомое сечение, найдём его площадь:

S_DLE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби EH умножить на LD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 6= дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Примечание.

Площадь треугольника DLE можно было найти по формуле Герона:

S_DLE= корень из левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби минус корень из 6 правая круглая скобка =

 

= корень из левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
В результате использования верных утверждений и формул получен верный ответ. Обоснование не содержит неверных утверждений.2
В результате использования верных утверждений и формул задача доведена до ответа, но получен неверный ответ в результате допущенной вычислительной ошибки или описки. Обоснование не содержит неверных утверждений*

Все промежуточные вычисления и полученный ответ верны, но обоснование отсутствует или содержит неверные утверждения.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

 

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода


Аналоги к заданию № 505417: 505423 505471 505493 505450 505499 510849 510855 510879 511405 Все

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 1., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2014