Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 512818

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

a в квадрате плюс 9|x минус 3| плюс 3 корень из (x в квадрате минус 6x плюс 13) =4a плюс 2|x минус 2a минус 3|

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Произведём замену переменной t=x минус 3, получим:

a в квадрате плюс 9|t| плюс 3 корень из (t в квадрате плюс 4) =4a плюс 2|t минус 2a| равносильно a в квадрате минус 4a плюс 3 корень из (t в квадрате плюс 4) =2|t минус 2a| минус 9|t|.

Пусть теперь

f(t)=a в квадрате минус 4a плюс 3 корень из (t в квадрате плюс 4) ,

g(t)=2|t минус 2a| минус 9|t|.

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от g(0) до  минус принадлежит fty. При t < 0 функция g(t) − возрастает, принимая все значения от  минус принадлежит fty до g(0). Значит, \max g(t)=g(0)=4|a|

Функция f(t) принимает минимальное значение при f(t)=f(0)=a в квадрате минус 4a плюс 6, причём на промежутке (0; +∞) — функция возрастает, принимая все значения от f(0) до  плюс принадлежит fty, а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от  плюс принадлежит fty до f(0).

Поскольку наибольшее значение функции g(t) и наименьшее значение функции f(t) достигается при одном и том же значении t = 0, уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда \max g(t) больше или равно \min f(t), то есть

a в квадрате минус 4a плюс 6 меньше или равно 4|a|

1) При a ≥ 0 получаем

a в квадрате минус 4a плюс 6 меньше или равно 4a равносильно a в квадрате минус 8a плюс 6 меньше или равно 0 равносильно 4 минус корень из (10) меньше или равно a меньше или равно 4 плюс корень из (10)

 

2) При a < 0 получаем

a в квадрате минус 4a плюс 6 меньше или равно минус 4a равносильно a в квадрате плюс 6 меньше 0, решений нет.

 

Ответ: a принадлежит [4 минус корень из (10) ;4 плюс корень из (10) ].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обосновано

3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра2
Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 512818: 512819 515786 515805 Все