Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 515786

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

a в квадрате плюс 11|x плюс 2| плюс 3 корень из (x в квадрате плюс 4x плюс 13) =5a плюс 2|x минус 2a плюс 2|

имеет хотя бы один корень.
Спрятать решение

Решение.

Пусть t=x плюс 2, тогда уравнение примет вид: a в квадрате плюс 11|t| плюс 3 корень из (t в квадрате плюс 9) =5a плюс 2|t минус 2a|. Пусть f(t)=3 корень из (t в квадрате плюс 9) плюс a в квадрате минус 5a, g(t)=2|t минус 2a| минус 11|t|. При t > 0 функция g(t) убывает от g(0) до  минус принадлежит fty . При t < 0 функция g(t) возрастает от  минус принадлежит fty до g(0). Поэтому максимальное значение функции g(t)=g(0)=4|a|.

Функция f(t) принимает минимальное значение при t=0: f(t)=a в квадрате минус 5a плюс 9. Причем f(t) возрастает на промежутке (0; плюс принадлежит fty) и убывает на промежутке ( минус принадлежит fty;0), принимая значения от f(0) до  принадлежит fty .

Чтобы было решение необходимо, чтобы \max(g(t)) больше или равно \min(f(t)), то есть 4|a| больше или равно a в квадрате минус 5a плюс 9. При a\geqslant0 получаем a в квадрате минус 9a плюс 9 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 9 минус 3 корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 9 плюс 3 корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби . При a меньше 0 решений нет.

 

Ответ:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 минус 3 корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 9 плюс 3 корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 512818: 512819 515786 515805 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С6., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C).