Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 515805

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

a в квадрате плюс 7|x плюс 1| плюс 5 корень из (x в квадрате плюс 2x плюс 5) =2a плюс 3|x минус 4a плюс 1|

имеет хотя бы один корень.
Спрятать решение

Решение.

Пусть t=x плюс 1, тогда уравнение примет вид:

a в квадрате плюс 7|t| плюс 5 корень из (t в квадрате плюс 4) =2a плюс 3|t минус 4a| равносильно a в квадрате минус 2a плюс 5 корень из (t в квадрате плюс 4) =3|t минус 4a| минус 7|t|.

При t=0 левая часть уравнения принимает наименьшее значение a в квадрате минус 2a плюс 10.

При t\geqslant0 правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до  минус принадлежит fty , а при t меньше 0 — возрастает, принимая значения от  минус принадлежит fty до 12|a| (не включая), то есть наибольшее значение правой части уравнения достигается при t=0 и равно 12|a|.

Чтобы уравнение имело решение, наибольшее значение правой части должно быть не меньше наименьшего значения левой части:

12|a| больше или равно a в квадрате минус 2a плюс 10 равносильно совокупность выражений система выражений a больше или равно 0,a в квадрате минус 14a плюс 10 меньше или равно 0 конец системы . система выражений a меньше 0,a в квадрате плюс 10a плюс 10 меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно
 равносильно совокупность выражений система выражений a больше или равно 0,7 минус корень из (39) меньше или равно a меньше или равно 7 плюс корень из (39) конец системы . система выражений a меньше 0, минус 5 корень из (15) меньше или равно a меньше или равно минус 5 плюс корень из (15) конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 7 минус корень из (39) меньше или равно a меньше или равно 7 плюс корень из (39) , минус 5 минус корень из (15) меньше или равно a меньше или равно минус 5 плюс корень из (15) . конец совокупности .

 

Ответ: [ минус 5 минус корень из (15) ; минус 5 плюс корень из (15) ] \cup [7 минус корень из (39) ;7 плюс корень из (39) ] .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 512818: 512819 515786 515805 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С6., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 9. (Часть C).