Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 512819

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

a в квадрате плюс 13|x| плюс 5 корень из (4x в квадрате плюс 9) =3a плюс 3|4x минус 3a|

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Разберем случаи раскрытия модулей.

1) x больше или равно 0, x больше или равно дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда уравнение примет вид a в квадрате плюс 6a плюс x плюс 5 корень из (4x в квадрате плюс 9) =0, что невозможно поскольку

a в квадрате плюс 6a больше или равно минус 9,  корень из (4x в квадрате плюс 9) больше или равно 3

2) x больше или равно 0, x меньше дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда уравнение примет вид a в квадрате минус 12a плюс 25x плюс 5 корень из (4x в квадрате плюс 9) =0. Заметим, что левая часть — возрастающая функция f(x), необходимо и достаточно, чтобы f(0) меньше или равно 0, f левая круглая скобка дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше 0.

Первое условие дает a принадлежит [6 минус корень из (21) ;6 плюс корень из (21) ]. Второе — a в квадрате плюс дробь: числитель: 27a, знаменатель: 4 конец дроби плюс 5 корень из (9 плюс дробь: числитель: 9a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби ) больше 0, что верно при всех неотрицательных a.

3) x меньше 0, x больше или равно дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда уравнение примет вид a в квадрате плюс 6a минус 25x плюс 5 корень из (4x в квадрате плюс 9) =0, что невозможно поскольку

a в квадрате плюс 6a больше или равно минус 9,  корень из (4x в квадрате плюс 9) больше или равно 3.

4) x меньше 0, x меньше дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда уравнение примет вид a в квадрате минус 12a минус x плюс 5 корень из (4x в квадрате плюс 9) =0. Заметим, что левая часть — убывающая функция f(x), причем f( минус 36)=(a минус 6) в квадрате плюс 5 корень из (4 умножить на 36 в квадрате плюс 9) больше 0, необходимо и достаточно, чтобы f(0) меньше 0 или f левая круглая скобка дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше 0, в зависимости от того, какое из чисел 0 или  дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби меньше.

Если a=0 и эти числа равны, получаем функцию  минус x плюс 5 корень из (4x в квадрате плюс 9) =0, положительную на левой полуоси.

Если a больше 0, то можно рассматривать любые x меньше 0 и поэтому нужно чтобы f(0) меньше 0, то есть a в квадрате минус 12a плюс 15 меньше 0. Однако такие a уже рассматривались и для них корень есть.

Если a меньше 0, то можно рассматривать только x меньше дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби и поэтому нужно чтобы f левая круглая скобка дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше 0, то есть a в квадрате минус дробь: числитель: 51a, знаменатель: 4 конец дроби плюс 5 корень из (9 плюс дробь: числитель: 9a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби ) меньше 0, что очевидно невозможно при отрицательных a.

 

Ответ: a принадлежит [6 минус корень из (21) ;6 плюс корень из (21) ].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обосновано

3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра2
Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 512818: 512819 515786 515805 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Вано Хачатрян 08.04.2017 14:12

а как вы пришли к тому,что a^2+6a>-9? методом перебора чисел ?

Александр Иванов

(a плюс 3) в квадрате \ge0 равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9\ge0 равносильно a в квадрате плюс 6a больше или равно минус 9

Максим Хмм 01.05.2017 13:36

Во втором пункте решения сказано: "что верно при всех неотрицательных а". Если поставить -1, неравенство все еще верно. Из ОДЗ -1 не исключен.

Александр Иванов

Во втором пункте по условию  дробь: числитель: 3a, знаменатель: 4 конец дроби больше x и x\ge0,

то есть a больше 0, поэтому имеет смысл рассматривать только положительные значения a.