Системы с логарифмами по переменному основанию
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Решите систему неравенств 
Рассмотрим первое неравенство системы. Поскольку 
перепишем это неравенство так: 
Разделим обе части последнего неравенства на 
Введем новую переменную. Пусть 
Тогда:
Перейдем к переменной 
Решения первого неравенства системы: 
Решим второе неравенство системы. Ограничения на 
В левой части неравенства перейдем к логарифмам по основанию 2:
Пусть 
тогда
Полученное неравенство решим методом интервалов.
| Интервалы |  |  |  |  |  |
| Знак рационального выражения на интервалах | + | − | + | − | + |
Получили: 
Перейдем к переменной
Решения второго неравенства системы: 
Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:
Искомым пересечением является множество 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств: 
Рассмотрим второе неравенство системы:
Решения второго неравенства системы: 
Теперь решим первое неравенство системы. Прежде найдем ограничения на
Для таких значений x будем иметь:
Поскольку 
то 
С учетом ограничений на 
решения рассматриваемого неравенства: 
Пересечение решений обоих неравенств: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств 
Рассмотрим первое неравенство системы:
Решения первого неравенства системы: 
Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на
Итак, второе неравенство имеет смысл, если 
Для таких значений x будем иметь:
Поскольку рассматриваемое неравенство имеет смысл только при положительных значениях х, то на данном этапе нам достаточно решить неравенство 
на множестве 
Очевидно, искомыми значениями переменной будут элементы множества 
Ясно, что пересечением решений обоих неравенств системы будет множество 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств 
Рассмотрим первое неравенство системы:
Решения первого неравенства системы: 
Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на
Таким образом, искомые значения x могут принадлежать только множеству 
На этом множестве будем иметь:
Пусть 
Тогда:
Решим последнее неравенство методом интервалов.
Получили: 
То есть:
Решения второго неравенства с учетом ограничений на 
Пересечение решений обоих неравенств системы: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств 
Рассмотрим первое неравенство системы:
Пусть 
Тогда:
Решения первого неравенства системы: 
Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на
Итак, второе неравенство имеет смысл, если 
Для таких значений x будем иметь:
Решения последнего неравенства получим методом интервалов.
| Интервалы | (–∞ –4) | (–4; –3) | (–3; –1) | (–1; 0) | (0; +∞) |
| Знак рационального выражения | + | – | + | – | + |
Решения последнего неравенства: 
С учетом ограничений получим: 
Пересечение решений обоих неравенств системы: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх