СДАМ ГИА






Каталог заданий. Многоугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д10 C4 № 505613

В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка L лежит на основании BC.

а) Докажите, что прямая MK проходит через середину стороны AB.

б) Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.

2
Задания Д10 C4 № 505625

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

3
Задания Д10 C4 № 505649

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.

а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.

б) Найдите длину отрезка MN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

4
Задания Д10 C4 № 505775

В трапеции ABCD AD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей.

а) Докажите, что выполняется равенство

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.

5
Задания Д10 C4 № 505811

Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.

а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а её центр находится на вершине A квадрата ABCD.

б) Найдите угол MAN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.

6
Задания Д10 C4 № 505817

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно.

а) Докажите, что точка E есть центр вневписанной окружности для треугольников OCB, где O — точка пересечения прямых CD и AB.

б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а площадь треугольника BCE равна 11.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.

7
Задания Д10 C4 № 505897

В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.

8
Задания Д10 C4 № 505933

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что Найдите BC, если AB = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.

9
Задания Д10 C4 № 505945

В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM = 10 и Найдите диагональ LN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.

10
Задания Д10 C4 № 505957

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.

11
Задания Д10 C4 № 505963

Площадь равнобедренной трапеции равна Угол между диагональю и основанием на 20 градусов больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.

12
Задания Д10 C4 № 505981

Дан параллелограмм ABCD. Точка M лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 2 : 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCM равна 60.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.

13
Задания Д10 C4 № 505999

Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18. Найдите основания этой трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.

14
Задания Д10 C4 № 506071

Диагонали трапеции равны 13 и а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.

15
Задания Д10 C4 № 506083

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

16
Задания Д10 C4 № 508139

В трапеции ABCD ВС и AD — основания. Биссектриса угла А пересекает сторону CD в ее середине — точке Р.

а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

17
Задания Д10 C4 № 508175

Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

18
Задания Д10 C4 № 508205

О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOBBOC, COD и DOА равны между собой.

А) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Б)  Найдите  радиус  окружности,  вписанной в треугольник DOA, если  радиусы  окружностей, вписанных в треугольники AOBBOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.

19
Задания Д10 C4 № 508634

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.

а) Докажите, что BH = DH.

б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

20
Задания Д10 C4 № 508648

Трапеция ABCD с углами при одном основании и описана около круга.

а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции если а площадь вписанного круга равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

21
Задания Д10 C4 № 511264

В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.

а) Найдите длины этих отрезков.

б) Докажите, что KL < MN < RS < TQ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.

22
Задания Д10 C4 № 511275

В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.

а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

23
Задания Д10 C4 № 511839

В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали АС и BDвзаимно перпендикулярны, а ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K.

А) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.

Б) Найдите площадь треугольника AD, если известно, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

24
Задания Д10 C4 № 511864

В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм.

а) Докажите, что ABCD — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

25
Задания Д10 C4 № 511893

В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов.

А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны.

Б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами, если известно, что стороны параллелограмма равны 3 и 5 , а угол параллелограмма равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

26
Задания Д10 C4 № 512454

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOB и COD равны.

а) Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой ВС.

б) Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

27
Задания Д10 C4 № 505903

Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB — в точке M. Найдите если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.

28
Задания Д10 C4 № 505921

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.

29
Задания Д10 C4 № 506035

В ромбе ABCD со стороной 2 и углом 60° проведены высоты CM и DK. Найдите длину отрезка MK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.

30
Задания Д10 C4 № 508747

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.

а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок на три равных части;

б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

31
Задания Д10 C4 № 514054

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части. 

а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АNBM и BD равна 16. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

32
Задания Д10 C4 № 514577

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD.

б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6, BD = 8, а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!