Угол между плоскостями
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
через точку К проведем прямую параллельно 
Пусть эта прямая пересекает диагональ 
в точке L. В плоскости основания 
проведем прямую 
пусть она пересекает сторону 
в точке P. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL. 
и 
поэтому 
Тогда 
Что и требовалось доказать.
прямоугольного треугольника 
— является проекцией наклонной PN на плоскость 
Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4. Получаем уравнение плоскости: x + 3y + 4z + d = 0. Определим теперь коэффициент d, для этого подставим в это уравнение координаты точки C1:
Координаты вектора нормали к плоскости 
Обозначим угол между плоскостями 
и 
как 
Найдём косинус угла между плоскостями 
и 
Может также быть получен ответ и через арктангенс: 
Уравнение плоскости сечения C1PK в отрезках 
Нормальный вектор к этой плоскости: 
нормальный вектор к плоскости BB1C1C: 
Тогда
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Поэтому 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
также лежат в этой плоскости. Пусть они пересекаются в точке M, таким образом, точка M также лежит в искомом сечении. Аналогично, BC и 
лежат в сечении BCA1D1 и пересекаются в точке 
Трапеция 
— искомое сечение.
а 
Поэтому 
Из подобия треугольников D1C1E и BME находим, что 
откуда BM = MA = 1. Аналогично, BN=1, треугольник BMN — равнобедренный. Опустим перпендикуляр AH на прямую 
По теореме о трёх перпендикулярах 
и, значит, 
— искомый угол.
Тогда 
Из подобия этих треугольников находим 
отрезок MN — средняя линия треугольника ABC. Поэтому BM = BN = 1. Таким образом, построено искомое сечение — трапеция A1C1NM.
Вычислим тангенс искомого угла: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4.
а) Докажите, что BMC -- равнобедренный, остроугольный треугольник.
б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC.
Тогда, по теореме косинусов, 
Отсюда 
Получается, что основание равнобедренного треугольника BMC меньше его боковой стороны, значит, угол при вершине острый. Угол же при основании равнобедренного треугольника всегда острый. Отсюда получаем требуемое.
имеем: 
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно 
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, — на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2. Тогда расстояние между хордами составляет либо 
либо 
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее.
и, значит, AB и AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
Пройти тестирование по этим заданиям