В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ от­ме­че­на точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ по­стро­е­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD₁.

а)  До­ка­жи­те, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром A₁B₁.

б)  Най­ди­те угол на­кло­на плос­ко­сти α к плос­ко­сти грани BB₁C₁C.

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AA₁ и A₁C₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB₁.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 2, а вы­со­та приз­мы равна 1. Точка E лежит на диа­го­на­ли BD₁, причём BE  =  1.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью A₁C₁E.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC точка M  — се­ре­ди­на ребра SA, точка K  — се­ре­ди­на ребра SB. Кроме того из­вест­но, что SC = 6, BC = 4.

а)  До­ка­жи­те, что BMC -- рав­но­бед­рен­ный, ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми CMK и ABC.

Диа­метр окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 20, об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна 28. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет его ос­но­ва­ния по хор­дам длины 12 и 16. Рас­сто­я­ние между этими хор­да­ми равно

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра лежат по одну сто­ро­ну от этой плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те угол между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка M   — се­ре­ди­на ребра SA, точка K   — се­ре­ди­на ребра SC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые SB и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMK и ABC, если AB = 8, SC = 6.

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 4. Точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AB = 9, AD = 6 , AA₁ = 14.

а)  В каком от­но­ше­нии плос­кость ETD₁ делит ребро BB₁?

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ETD₁ и плос­ко­стью AA₁B₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 4. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3. Через точки A, C₁ и се­ре­ди­ну T ребра A₁B₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка F се­ре­ди­на ребра AB, а точка E делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DE : ED₁  =  6 : 1. Через точки F и E про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль B₁D в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль DB₁ в от­но­ше­нии DO : OB₁  =  2 : 3.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (ABC), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ABCDA₁B₁C₁D₁  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а вы­со­та равна 7.

Ос­но­ва­ние пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром AB  =  12, AD  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно рас­сто­я­нию между пря­мы­ми и BD.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра AD пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD₁, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно 13.

Се­че­ни­ем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α со­дер­жа­щей пря­мую BD₁ и па­рал­лель­ной пря­мой AC, яв­ля­ет­ся ромб.

а)  До­ка­жи­те, что грань ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и BCC₁, если AA₁  =  6, AB  =  4.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 7, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. На про­дол­же­нии ребра SA за точку A от­ме­че­на точка P, а на про­дол­же­нии ребра SB за точку B  — точка Q, причём AP  =  BQ  =  SA.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и CPQ.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка K  — се­ре­ди­на ребра C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A₁ до пря­мой BK равно ребру куба.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми KBA₁ и BCC₁.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, а бо­ко­вые рёбра равны 3. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка E так, что AE : EA₁  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C₁ рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти BED₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и BED₁.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна 2, а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды вдвое боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью A₁BC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все ребра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые SB и SD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те синус угла между плос­ко­стью SAD и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку A пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD.

Вы­со­та ци­лин­дра равна 3. Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с бо­ко­вой сто­ро­ной 10 и ∠A  =  120° рас­по­ло­жен так, что его вер­ши­на A лежит на окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а вер­ши­ны B и C  — на окруж­но­сти верх­не­го ос­но­ва­ния.

а)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ABC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

б)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра боль­ше, чем AB.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6. На ребре AB от­ме­че­на точка K так, что AK : KB  =  5 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды де­лит­ся плос­ко­стью MKC в от­но­ше­нии 5 : 1.

б)  Се­че­ние MKC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком с ос­но­ва­ни­ем MK. Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, причём DN : NC  =  SK : KC = 1 : 3. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка Е  — се­ре­ди­на ребра SA, точка F  — се­ре­ди­на ребра SB, О  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми CEF и EFT, если точка Т  — се­ре­ди­на SC, пи­ра­ми­да SABC пра­виль­ная, пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна а SB  =  10.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой АС, про­хо­дит через точку В и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SD в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от точки D.

б)  Най­ди­те синус угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ASC, если угол SAC равен 30°.

Точка O  — центр грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁. На рёбрах AD и C₁D₁ от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки M и N так, что DM  =  D₁N  =  AO.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN об­ра­зу­ет с плос­ко­стью DCC₁ угол 30°.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми MNO и DCC₁.

Плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра AD пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD₁.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABC равен углу между пря­мы­ми BB₁ и B₁D.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABC, если объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен и

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 6. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ACC₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁С₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 5, бо­ко­вые ребра равны 15, точка D  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  Пусть пря­мые BD и B₁C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что угол EA₁B₁  — пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми A₁B₁С₁ и BDA₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На реб­рах AA₁ и A₁C₁ вы­бра­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но так, что AM  =  A₁N  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ACC₁.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со сто­ро­ной 8 на ребре AA₁ взята точка K такая, что A₁K  =  1. Через точки K и B₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC₁.

а)  До­ка­жи­те, что A₁P : PD₁  =  1 : 6, где P  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α и ребра A₁D₁.

б)   Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ADD₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, AB  =  24, вы­со­та SH, про­ведённая к ос­но­ва­нию, равна 14, точка K  — се­ре­ди­на AS, точка N  — се­ре­ди­на BC. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точку K и па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что PQ про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка SN.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью APQ.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые ребра равны 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что AD  =  AE  =  AL  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок DE со­дер­жит центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, бо­ко­вые ребра равны 6. Точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁, на ребре BB₁ от­ме­че­на точка N, такая, что BN : NB₁  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AMN делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 5, счи­тая от точки D.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и AMN.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDА₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб с тупым углом B, рав­ным 120°. Все ребра этой приз­мы равны 10. Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер CC₁ и CD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PK и PB₁ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми PKB₁ и C₁B₁B.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра SD, а точка L  — се­ре­ди­ной сто­ро­ны BC ос­но­ва­ния ABCD. Плос­кость AKL пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AKL и ABC, если AB  =  10, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 20.

Тра­пе­ция KLMN яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды PKLMN, Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых KL и MN. Плос­ко­сти КPL и PMN пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти KPL и PMN вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PLQM, если a вы­со­та пи­ра­ми­ды PKLMN равна 8.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC все ребра равны. Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер SA и SC со­от­вет­ствен­но.

а)  B каком от­но­ше­нии плос­кость BMN делит вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды?

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью BMN и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, если ребра пи­ра­ми­ды равны 12.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость α со­дер­жит пря­мую КМ и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

Дана пря­мая приз­ма, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  5 и BC  =  4. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии точка K  — се­ре­ди­на ребра DD₁.

a)  До­ка­зать, что плос­кость MCK па­рал­лель­на пря­мой BD.

б)  Найти тан­генс угла между плос­ко­стью MKC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если a

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M, N, K делят ребра AA₁, BB₁, DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 4, 1 : 5, 1 : 3, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния ABCD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNK делит ребро CC₁ в от­но­ше­нии 13 : 47, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния равна а вы­со­та равна  60.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ ребра ос­но­ва­ния равны 4, а бо­ко­вые рёбра равны 5. Точка K  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁, точка P лежит на ребре CC₁ так, что

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АР и РK пер­пен­ди­ку­ляр­ны

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми АРK и САA₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4, a бо­ко­вое ребро равно 2. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани AA₁BB₁ и се­ре­ди­ну ребра СС₁ про­хо­дит плос­кость α под углом 45° к плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну ВС.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну М ребра ВС.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми  α и AB₁M.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на реб­рах AB, A₁B₁ и B₁C₁ от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что KLMC  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 4.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми KLM и ABC, если пло­щадь тра­пе­ции KLMC равна 6.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на реб­рах AB, A₁B₁ и B₁C₁ от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что KLMC  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 4 и 8.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми KLM и ABC, если пло­щадь тра­пе­ции KLMC равна

Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Пря­мые CM и DN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через цен­тры гра­ней ABB₁A₁ и BCC₁B₁ и точку O про­хо­дит плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AB куба в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от точки A.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABC.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной S яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рой AD  =  2BC. Се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD про­хо­дит через точку B и яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Из­вест­но, что это се­че­ние делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD про­хо­дит через се­ре­ди­ну вы­со­ты ос­но­ва­ния ABCD.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью бо­ко­вой грани SAB, если плос­кость се­че­ния на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 15°, а одна из сто­рон се­че­ния равна боль­ше­му ос­но­ва­нию тра­пе­ции ABCD.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S на реб­рах AB, BC и SC от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AK : KB  =  BL : LC  =  2 : 1, SM : MC  =  7 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра SD.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью KLM и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна диа­го­на­ли ос­но­ва­ния.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD с рав­ны­ми бо­ко­вы­ми реб­ра­ми лежит пря­мо­уголь­ник ABCD. Через точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани SBC и вер­ши­ну A про­хо­дит плос­кость α, па­рал­лель­ная ребру SD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку C.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью SBC, если

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD с ост­рым углом A, рав­ным 60°, а бо­ко­вое ребро равно сто­ро­не ос­но­ва­ния. Через се­ре­ди­ны ребер A₁D₁, D₁C₁ и точку B про­ве­де­на плос­кость α.

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α к пло­ща­ди ос­но­ва­ния приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью DCC₁.

У пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCDEFS с вер­ши­ной S бо­ко­вые ребра вдвое длин­нее сто­ро­ны ос­но­ва­ния. Точка N делит диа­го­наль ос­но­ва­ния AD в от­но­ше­нии AN : ND  =  1 : 3. Плос­кость α при­хо­дит через точки Е и N па­рал­лель­но ме­ди­а­не бо­ко­вой грани SCD, про­ве­ден­ной из точки С.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит пло­щадь бо­ко­вой грани ASF в от­но­ше­нии 25 : 17.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью АВС.

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  3 : 1, а на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  3 : 5. Из­вест­но, что AD  =  12, AA₁  =  16.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EFD₁ делит ребро B₁C₁ на два рав­ных от­рез­ка.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью EFD₁ и плос­ко­стью AA₁B₁.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁A₁B₁C₁D₁ точки M, N и K делят ребра AA₁, BB₁, DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 5, 1 : 4 и 1 : 2 со­от­вет­ствен­но, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния ABCD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNK делит ребро CC₁ в от­но­ше­нии 11 : 19, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна  а вы­со­та равна 30.

Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD па­рал­лель­но ос­но­ва­нию про­ве­де­но се­че­ние A₁B₁C₁D₁, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O₁. На реб­рах AD и SB от­ме­че­ны точки K и М со­от­вет­ствен­но так, что AK : KD  =  3 : 5, SM : MB  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KMO₁ па­рал­лель­на SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью KМО₁ и плос­ко­стью АВС, если бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды SABCD на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Плос­кость α про­хо­дит через ребро AB и пе­ре­се­ка­ет ребра SC и SD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точка K лежит на ребре AB и делит его в от­но­ше­нии AK : KB  =  3 : 1. Точка L  — се­ре­ди­на ребра BC. Плос­кость α про­хо­дит через точки K и L и пе­ре­се­ка­ет ребра B₁C₁ и A₁B₁ в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что B₁M : MC₁  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что MN ⊥ AB.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если все рёбра приз­мы равны.

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  5 : 2. Точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD₁ яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ETD₁ и плос­ко­стью A₁B₁C₁, если из­вест­но, что