а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, Значит все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б) Сечение плоскостью A₁BC есть прямоугольник A₁BCD₁.

Из точки C₁ проведем перпендикуляр C₁H к CD₁. BH — проекция BC₁ на плоскость A₁BC. Значит, нужно найти угол C₁BH.

В прямоугольном треугольнике D₁C₁C находим:

В прямоугольном треугольнике BCC₁ находим: BC₁ = 17.

В прямоугольном треугольнике C₁HB находим:

Ответ:

а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом, нужно найти угол между прямыми SC и SB (смотри рисунок), то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Ответ: 30°.

Примечание.

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.

а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, Значит все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б) Найдем угол между прямой EF и плоскостью BB₁C₁C. Точка B — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол есть

Ответ:

а) Проекция точки S на плоскость основания это точка O — центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому . Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки  — точка  — лежит на отрезке M — середина AS, поэтому ее проекция — это середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.

б) — медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый.

где  — центр основания, значит,  — средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

а) Заметим, что − высота треугольника . Поскольку призма прямая, то перпендикулярна плоскости Поэтому по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Прямая  — проекция прямой на плоскость Значит, искомый угол равен углу

Так как имеем:

Отсюда Следовательно,

Ответ: