а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом, нужно найти угол между прямыми SC и SB (смотри рисунок), то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Ответ: 30°.

Примечание.

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.

а) Поскольку

б) Пусть — середина , тогда угол между прямой и плоскостью грани равен углу между этой плоскостью и прямой .

Обозначим через перпендикуляр, опущенный на . Прямая перпендикулярна плоскости грани , поскольку она перпендикулярна прямым и . Поэтому искомый угол равен углу .

В прямоугольном треугольнгике :

откуда

Ответ: б) 30.

а) Отрезок MN — средняя линяя треугольника ASB, так как он проходит через середину стороны AS параллельно стороне BS. Поэтому точка N — середина AB, и тогда отрезки ON и AB перпендикулярны, поскольку отрезок ON лежит на диаметре основания конуса, а диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Таким образом, угол ANO прямой.

б) Проведём в плоскости SOA отрезок MH параллельно SO, тогда MH — средняя линия треугольника SOA:

Прямая MH перпендикулярна основанию конуса, следовательно, BH — проекция MB на плоскость BOA, а тогда угол между MB и плоскостью основания это угол MBH. Заметим, что BH — медиана треугольника OBA и воспользуемся формулой для длины медианы:

Тем самым, треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол MBH равен 45°.

Ответ: б) 45°.

а) Треугольники SBC и АВС равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA, что и требовалось доказать.

б) Построим высоту АМ треугольника ASN. Заметим, что АМ перпендикулярна плоскости SВС, поскольку по построению перпендикулярна прямой SN и в то же время перпендикулярна прямой ВС. Тогда прямая SN является проекцией SА на плоскость SBC, а значит, угол между прямой SA и плоскостью SBC есть угол ASM.

Заметим, что а Пусть точка М делит ребро SN на отрезки и Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:

Тогда откуда

Ответ: б)

а) Треугольники SBC и АВС равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA, что и требовалось доказать.

б) Построим высоту АМ треугольника ASN. Заметим, что АМ перпендикулярна плоскости SВС, поскольку по построению перпендикулярна прямой SN и в то же время перпендикулярна прямой ВС. Тогда прямая SN является проекцией SА на плоскость SBC, а значит, угол между прямой SA и плоскостью SBC есть угол ASM.

Заметим, что а Пусть точка М делит ребро SN на отрезки и Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:

Тогда откуда

Ответ: б)