Угол между скрещивающимися прямыми
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.
а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.
б) Найдите угол между прямыми DM и CL.
Это и требовалось доказать.
и 
поэтому, подставляя числовые данные, получим:
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Но 
по теореме о трех перпендикулярах — проекция AS на плоскость основания пирамиды — прямая 
Значит, и 
то есть 
Тогда 
Кроме того, 
откуда 
Тогда высота боковой грани пирамиды 
и площадь поверхности пирамиды 
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6.
а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB1 и параллельная прямой CA1 проходит через середину ребра BC.
б) Найти угол между прямыми CA1 и AB1.
параллельна прямой 
по признаку параллельности. Диагонали ромба ABDС пересекают друг друга посередине, поэтому плоскость 
значит, искомый угол 
Рассмотрим ромб ABDC: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба 
С другой стороны, площадь ромба можно найти как полупроизведение длин его диагоналей: 
следовательно, 
по теореме Пифагора находим: 
Аналогично 
Значит, из равнобедренного треугольника
получаем 
или 
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 
Высота призмы равна 6.
а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC1 и параллельная прямой CB1 проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.
параллельна прямой 
поэтому плоскость 
— прямоугольник, поэтому его диагонали пересекают друг друга посередине, значит, плоскость 
проходит через середину ребра 
Из прямоугольного треугольника ACB находим: 
Значит, AD тоже равно 8. Из прямоугольных треугольников 
и 
получаем: 
а диагональ 
квадрата 
или 
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB = 10.
такие что: 
тогда 
искомое сечение параллелограмм 
Покажем, что EKFM прямоугольник:
и E — середина DB, тогда EK — средняя линия треугольника 
Значит, 
аналогично 
EKMF — прямоугольник, поэтому получаем: 
(чтобы косинус в ответе получился положительным, а полученный угол — острым). Применим теорему косинусов в треугольнике 
:
где α — угол между диагоналями). Выразив отсюда синус угла между диагоналями и найдя арксинус, получим 
тогда весь угол — 
Пройти тестирование по этим заданиям