а) Построим прямые такие что: тогда искомое сечение параллелограмм Покажем, что прямоугольник:

б) и — середина тогда — средняя линия треугольника значит, аналогично Так как прямоугольник, получаем:

Пусть прямая пересекает прямую в точке тогда:

Заметим, что Применим теорему косинусов в треугольнике

а) Поскольку CC₁ = C₁B₁ = B₁B = BC и ABCA₁B₁C₁ — правильная призма, то CC₁B₁B — квадрат. Тогда K — точка пересечения диагоналей CC₁B₁B, так как делит одну из диагоналей на две равные части. Значит, B₁K = KC. Тогда KL — средняя линия треугольника AB₁C, поэтому KL || AB₁.

б) Поскольку KL || AB₁, необходимо найти угол LKB. По теореме Пифагора AB₁ = C₁B =  Тогда BK = LK= Высота LB правильного треугольника ABC равна По теореме косинусов то есть

Ответ: б)

а) Отрезки АМ и ВМ являются медианами в равносторонних треугольниках АСD и ВСD соответственно, поэтому прямая СD перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости АМВ. Следовательно, прямые АВ и СD перпендикулярны.

б) Пусть К — середина ребра АВ, а N середина отрезка НС. Тогда MN — средняя линия треугольника СDН, поэтому искомый угол равен углу BMN, а угол BNM прямой.

Обозначим ребро тетраэдра через 6x. Тогда имеем:

Ответ: б)