Угол между скрещивающимися прямыми
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.
а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.
б) Найдите угол между прямыми DM и CL.
параллельна прямой 
по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: 
Это и требовалось доказать.
и 
подставляя числовые данные, получим:
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6.
а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB1 и параллельная прямой CA1 проходит через середину ребра BC.
б) Найти угол между прямыми CA1 и AB1.
параллельна прямой
по признаку параллельности. Диагонали ромба 
пересекают друг друга посередине, поэтому плоскость 
.
, значит, искомый угол 
Рассмотрим ромб 
площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба: 
С другой стороны, площадь ромба можно найти как полупроизведение длин его диагоналей: 
следовательно, 
по теореме Пифагора находим: 
Аналогично, 
Значит, из равнобедренного треугольника
получаем 
или 
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 
Высота призмы равна 6.
а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC1 и параллельная прямой CB1 проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.
и верхним основанием 
параллельна прямой 
, поэтому плоскость 
. 
— прямоугольник, поэтому его диагонали пересекают друг друга посередине, значит плоскость 
проходит через середину ребра 
. 
поэтому искомый угол 
Из прямоугольного треугольника 
находим: 
Значит, 
тоже равно 8. Из прямоугольных треугольников 
и 
получаем: 
а диагональ 
квадрата 
или 
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB = 10.
такие что: 
тогда 
искомое сечение параллелограмм 
Покажем, что 
прямоугольник:
и 
— середина 
тогда 
— средняя линия треугольника 
значит, 
аналогично 
Так как 
прямоугольник, получаем: 
пересекает прямую 
в точке 
тогда: 
Применим теорему косинусов в треугольнике 
следовательно, 
Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что угол между прямыми BE и AD равен углу CBE.
б) Найдите угол между прямыми BE и AD.
с прямым углом 
имеем:
,
или 
Пройти тестирование по этим заданиям
Почему мы не можем найти AD по теореме Пифагора? треугольник же прямоугольный получается
Нет. Треугольник ABD равнобедренный с углом 120°
Откуда вы взяли что угол ABD равен 120 градусов
В основании ромб, составленный из двух равносторонних треугольников.