а) Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость параллельна прямой по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: Это и требовалось доказать.

б) Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α.

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

Поскольку и подставляя числовые данные, получим:

Откуда

Ответ:

Достроим треугольную прямую призму до четырехугольной прямой призмы, в основании которой ромб ABDC, составленный из двух равносторонних треугольников.

Полученная призма является прямым параллелепипедом. Поэтому

а) Плоскость параллельна прямой по признаку параллельности. Диагонали ромба ABDС пересекают друг друга посередине, поэтому плоскость проходит через середину ребра BC.

б) , значит, искомый угол Рассмотрим ромб ABDC: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба С другой стороны, площадь ромба можно найти как полупроизведение длин его диагоналей: следовательно,

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим: Аналогично, Значит, из равнобедренного треугольника

получаем

Примечание 1.

Диагональ ромба можно было найти по теореме косинусов для треугольника ABD.

Примечание 2.

Для нахождения угла можно применить в треугольнике теорему косинусов:

откуда

Ответ: или

Достроим призму до прямоугольного параллелепипеда с основанием и верхним основанием

а) Прямая параллельна прямой , поэтому плоскость .  — прямоугольник, поэтому его диагонали пересекают друг друга посередине, значит плоскость проходит через середину ребра .

б) Прямая параллельна прямой поэтому искомый угол Из прямоугольного треугольника находим: Значит, тоже равно 8. Из прямоугольных треугольников и получаем: а диагональ квадрата равна Из равнобедренного треугольника получаем:

Примечание.

Для нахождения угла можно воспользоваться теоремой косинусов:

Ответ: или

а) Построим прямые такие что: тогда искомое сечение параллелограмм Покажем, что прямоугольник:

б) Заметим, что и — середина тогда — средняя линия треугольника Значит, аналогично Так как прямоугольник, получаем:

Пусть прямая пересекает прямую в точке тогда:

Заметим, что (чтобы косинус в ответе получился положительным, а полученный угол —острым). Применим теорему косинусов в треугольнике

Откуда

Ответ:

Идея окончания решения Игоря Калинкина.

Можно найти площадь сечения, перемножив стороны прямоугольника и приравнять полученное произведение к формуле площади параллелограмма через диагонали (, где α — угол между диагоналями). Выразив отсюда синус угла между диагоналями и найдя арксинус, получим

Идея окончания решения Марины Максимовской.

Рассмотрим равнобедренный треугольник МОЕ, проведём высоту к МЕ. В получившемся прямоугольном треугольнике выразим тангенс половины нужного угла. Половина нужного угла получится тогда весь угол —

Примем ребро куба за единицу. Тогда

а) Прямая AD параллельна прямой BC, значит, искомый угол равен углу CBE.

б) Из прямоугольного треугольника CBE с прямым углом C имеем:

Ответ: