Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 8. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 5.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние шара плос­ко­стью α есть круг.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что угол мень­ше

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний ци­лин­дра по пря­мым ВС и AD со­от­вет­ствен­но, при­чем AD : BC  =  5 : 4, а ось ци­лин­дра  — в точке Е и делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния.

а)  Пря­мая DE пе­ре­се­ка­ет плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния в точке Р. До­ка­жи­те, что бо­ко­вая по­верх­ность ци­лин­дра делит от­ре­зок DP в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью α, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен  а вы­со­та ци­лин­дра равна