Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 500430

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3. Найдите угол A.

Спрятать решение

Решение.

Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.

Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо

на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.

Положим DB = 2t, DC = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:

AD=CD корень из (3) =3t умножить на корень из (3) ,

AB= корень из (AD_2) плюс BD_2= корень из (27t в квадрате плюс 4t в квадрате ) =t умножить на корень из (31) .

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов  дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби , то есть  дробь: числитель: синус A, знаменатель: 5t конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби t умножить на корень из (31) , откуда  синус A= дробь: числитель: 5 корень из (93) , знаменатель: 62 конец дроби .

Во втором случае  дробь: числитель: синус A, знаменатель: t конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби t умножить на корень из (31) , откуда  синус A= дробь: числитель: корень из (93) , знаменатель: 62 конец дроби .

Поскольку BC < AC, получаем: ∠BAC < ∠ABC, значит, ∠BAC — острый и равен \arcsin дробь: числитель: 5 корень из (93) , знаменатель: 62 конец дроби или \arcsin дробь: числитель: корень из (93) , знаменатель: 62 конец дроби .

 

Ответ: \arcsin дробь: числитель: 5 корень из (93) , знаменатель: 62 конец дроби , \arcsin дробь: числитель: корень из (93) , знаменатель: 62 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500410: 500430 502025 502056 503323 503363 511343 Все

Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники