Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3. Найдите угол A.
Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.
Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо
на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.
Положим DB = 2t, DC = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:
Рассмотрим первый случай. По теореме синусов 
то есть 
откуда 
Во втором случае 
откуда 
Поскольку BC < AC, получаем: ∠BAC < ∠ABC, значит, ∠BAC — острый и равен 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |