Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511343

Угол C треугольника ABC равен 60 градусов, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB= 1,DC=3. Найдите угол A.

Спрятать решение

Решение.

Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому \angle CDA=90 градусов. Аналогично, \angle BDA=90 градусов. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.

Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:

AD=CD корень из (3) =3 корень из (3) ,AB= корень из (AD в квадрате плюс BD в квадрате ) = корень из (27 плюс 1) =2 корень из (7) .

Возможны два случая.

 

Первый случай. Точка D лежит на отрезке BC (рис. 1). По теореме синусов  дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби , то есть  дробь: числитель: синус A, знаменатель: 4t конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби 2 корень из (7) , откуда  синус A= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: корень из (7) конец дроби = дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби .

 

Второй случай. Точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.  дробь: числитель: синус A, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби 2t корень из (7) , откуда  синус A= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 корень из (7) конец дроби = дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .

Поскольку BC меньше AC, получаем: \angle BAC меньше \angle ABC, значит, \angle BAC — острый и равен \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби или \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .

Ответ: \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби , \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500410: 500430 502025 502056 503323 503363 511343 Все

Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники