Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 502025

Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:3. Найдите синус угла A.

Спрятать решение

Решение.

Пусть BD = x, тогда по условию DC = 3x. Поскольку D — точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах, ∠ADB = ∠ADC = 90°, значит, точки B, C и D лежат на одной прямой.

 

В прямоугольном треугольнике ACD угол ∠C = 30°, откуда AD = корень из (3) x . В прямоугольном треугольнике ABD AB= корень из (AD в квадрате плюс BD в квадрате ) =2x.

 

Возможны два случая. Первый случай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точками D и C, значит, BC = DC − BD = 2x. В треугольнике ABC имеем: AB = BC = 2x, значит, он равнобедренный с основанием AC, следовательно, ∠A = ∠C = 30°, откуда  синус A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Второй случай: угол ABC острый (рис. 2), тогда точка D лежит между точками B и C, значит, BC = DC + BD = 4x.

 

По теореме синусов для треугольника ABC:

 дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби , откуда  синус A= дробь: числитель: BC умножить на синус 30 в степени (\circ) , знаменатель: AB конец дроби =1.

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби или 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500410: 500430 502025 502056 503323 503363 511343 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники