Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:3. Найдите синус угла A.
Пусть BD = x, тогда по условию DC = 3x. Поскольку D — точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах, ∠ADB = ∠ADC = 90°, значит, точки B, C и D лежат на одной прямой.
В прямоугольном треугольнике ACD угол ∠C = 30°, откуда 
В прямоугольном треугольнике ABD 
Возможны два случая. Первый случай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точками D и C, значит, BC = DC − BD = 2x. В треугольнике ABC имеем: AB = BC = 2x, значит, он равнобедренный с основанием AC, следовательно, ∠A = ∠C = 30°, откуда 
Второй случай: угол ABC острый (рис. 2), тогда точка D лежит между точками B и C, значит, BC = DC + BD = 4x.
По теореме синусов для треугольника ABC:
откуда 
Ответ: 
или 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |