Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 503363

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что ВD : DC = 1 : 4. Найдите синус угла A.

Спрятать решение

Решение.

Пусть BD = x, тогда по условию DC = 4x.

Поскольку D — точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах, ∠ADB = ∠ADC = 90°, значит, точки В, С и D лежат на одной прямой.

В прямоугольном треугольнике ACD угол ∠C = 60°, откуда AD=4 корень из (3) x. В прямоугольном треугольнике ABD AB= корень из (AD в квадрате плюс BD в квадрате ) =7x.

Возможны два случая. Первый случай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точками D и C, значит, BC = DCBD = 3x.

По теореме синусов для треугольника ABC:  дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби , откуда  синус A= дробь: числитель: BC умножить на синус 60 в степени (\circ) , знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из (3) , знаменатель: 14 конец дроби .

 

Второй случай: угол ABC острый (рис. 2), тогда точка D лежит между точками В и С, значит, BC = DC + BD = 5х.

По теореме синусов для треугольника ABC:  дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби , откуда  синус A= дробь: числитель: BC умножить на синус 60 в степени (\circ) , знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из (3) , знаменатель: 14 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 3 корень из (3) , знаменатель: 14 конец дроби или  дробь: числитель: 5 корень из (3) , знаменатель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500410: 500430 502025 502056 503323 503363 511343 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники