Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 502056

Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:6. Найдите синус угла A.

Спрятать решение

Решение.

Пусть BD = х, тогда по условию DC = 6х.

 

Поскольку D — точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах, \angle ADB = \angle ADC = 90 градусов, значит, точки B,С и D лежат на одной прямой. В прямоугольном треугольнике ACD угол \angle С=30 градусов, откуда AD=2 корень из (3) x. В прямоугольном треугольник ABD:  AB= корень из (AD в квадрате плюс BD в квадрате ) = корень из (13) x.

 

 

Возможны два случая. Первый случай: угол ABC тупой (рис.1), тогда точка B лежит между точками D и C, значит, BC=DC минус BD=5x. По теореме синусов для треугольника ABC:  дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби , откуда  синус A= дробь: числитель: BC умножить на синус 30 градусов, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из (13) , знаменатель: 26 конец дроби .

 

 

Второй случай: угол ABC острый (рис.2), тогда точка D лежит между точками B и С, значит, BC=DC плюс BD=7x. По теореме синусов для треугольника ABC:  дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби , откуда  синус A= дробь: числитель: BC умножить на синус 30 градусов, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 7 корень из (13) , знаменатель: 26 конец дроби .

 

 

Ответ:  дробь: числитель: 7 корень из (13) , знаменатель: 26 конец дроби ;\enskip дробь: числитель: 5 корень из (13) , знаменатель: 26 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500410: 500430 502025 502056 503323 503363 511343 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 602., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники