Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 500410

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Найдите угол A.

Спрятать решение

Решение.

Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.

Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо

на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.

Положим DB = t, DC = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:

AD=CD корень из (3) =3t корень из (3) ,

AB= корень из (AD в степени 2 плюс BD в степени 2 ) = корень из (27t в степени 2 плюс t в степени 2 ) =2t корень из (7) .

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов  дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби , то есть  дробь: числитель: синус A, знаменатель: 4t конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби 2t корень из (7) , откуда  синус A= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: корень из (7 конец дроби ) = дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби .

Во втором случае  дробь: числитель: синус A, знаменатель: 2t конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби 2t корень из (7) , откуда  синус A= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 корень из (7 конец дроби ) = дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .

Поскольку BC < AC, получаем: ∠BAC < ∠ABC, значит, ∠BAC — острый и равен \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби или \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .

 

Ответ: \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби , \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500410: 500430 502025 502056 503323 503363 511343 Все

Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники