Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 500639

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.

а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 1:7.

б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Плоскость SMN делит пирамиду на пирамиды SBNM и SMADCN. У этих пирамид общая высота, проведенная из вершины S, поэтому их объемы относятся как площади многоугольников BNM и MADCN. Площадь треугольника BNM равна половине от четверти квадрата ABCD, то есть S_BNM=1/8 умножить на S_ABCD, поэтому V_SBNM:V_SMADCN=S_BNM:S_MADCN=1/8:(1 минус 1/8)=1:7.

б) Площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины),

SM=SN= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 = 4 корень из (3) .

Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна 4 корень из (2) .

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную 2 корень из (10) , и вычислим площадь:

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на SH умножить на MN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 корень из (10) умножить на 4 корень из (2) =8 корень из (5) .

Ответ: 8 корень из (5) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 500639: 500643 507830 511345 511501 Все